ANALISI CONVESSA

Obiettivi formativi

Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base dell'Analisi Convessa in spazi finito dimensionali, con particolare attenzione agli aspetti analitici della convessità e al loro utilizzo in problemi geometrici e di ottimizzazione. Capacità applicative Al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che coinvolgono vari aspetti della convessità, quali: caratterizzazioni varie della nozione convessità, disuguaglianze convesse, proprietà di monotonia e di regolarità delle funzioni convesse, proprietà del sottodifferenziale, separazione di insiemi convessi, ottimizzazione convessa. Autonomia di giudizio Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci a tematiche di analisi funzionale, equazioni alle derivate parziali, teoria del controllo e programmazione matematica. Integrare le conoscenze acquisite al fine di saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive. Abilità nella comunicazione Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico. Capacità di apprendere Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.

Canale 1
GIULIO GALISE Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Funzioni convesse di una variabile reale: derivabilità quasi ovunque, locale lipschitzianità, rette di supporto, principio del massimo e disuguaglianze convesse (di Jensen e tra medie). Funzioni convesse in R^N: proprietà base, la funzione distanza da un convesso chiuso non vuoto, continuità e locale lipschitzianità, il sottodifferenziale, iperpiani di supporto, derivate direzionali e punti critici. Teorema di Hahn-Banach (forma analitica) in dimensione finita e conseguenze, in particolare la caratterizzazione delle funzioni convesse in termini di sottodifferenziale non vuoto. Funzioni convesse differenziabili, proprietà di differenziabilità quasi ovunque (primo e secondo ordine). Risultati di geometria convessa: proprietà (algebriche, insiemistiche e topologiche) degli insiemi convessi, esempi rilevanti di insiemi convessi (e.g. poliedri, simplessi, inviluppo convesso), il teorema di Carathéodory, teorema di Hahn-Banach (forme geometriche) e separazione di insiemi convessi, la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e il problema isoperimetrico. EVENTUALI APPROFONDIMENTI (tempo permettendo) Ulteriori risultati di geometria convessa: e.g. teoremi di Helly e Krein-Milman. Ottimizzazione di funzioni concave/convesse con vincoli di disuguaglianza: teorema di Kuhn-Tucker. Funzioni coniugate e dualità di Fenchel-Legendre.
Prerequisiti
È richiesta la conoscenza del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una e più variabili reali e di alcuni aspetti dell'Algebra Lineare. Non sono previste propedeuticità.
Testi di riferimento
Note a cura del docente. Ulteriori riferimenti bibliografici: 1. Borwein-Wanderwer, Convex Functions (constructions, characterizations and counterexamples), Cambridge 2. Krantz, Convex analysis, CRC Press 3. Mordukhovich-Nam, An easy path to convex analysis and applications, M&C Publisher 4. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univeristy Press
Frequenza
La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.
Modalità di esame
L'esame consiste di una prova scritta (esercizi numerici e quesiti teorici a risposta aperta) e di una prova orale.
Bibliografia
Borwein-Wanderwer, Convex Functions (constructions, characterizations and counterexamples), Cambridge I. Capuzzo Dolcetta, F. Lanzara, A. Siconolfi, Lezioni di Ottimizzazione. Edizioni Nuova Cultura (2013) Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Springer Krantz, Convex analysis, CRC Press Mordukhovich-Nam, An easy path to convex analysis and applications, M&C Publisher Rockafellar, Convex Analysis, Princeton Univeristy Press
Modalità di erogazione
Lezioni frontali di teoria ed esercitazioni.
  • Codice insegnamento10611767
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumGenerale
  • Anno3º anno
  • Semestre2º semestre
  • SSDMAT/05
  • CFU6