ARITMETICA ELEMENTARE E GRUPPI

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra relative a argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a: 1) Aritmetica modulare. 2) Teoria dei Gruppi. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di maneggiare in maniera autonoma le tecniche iniziali della teoria dei gruppi e di risolvere semplici problemi di aritmetica modulare Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni con nozioni acquisite nei corsi del primo anno con particolare riferimento a argomenti concernenti l’algebra lineare e i gruppi di trasformazioni. Capacità comunicative: Il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee e i contenuti esposti nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo al fine di acquisire nozione più avanzate relative alle principali strutture algebriche. Obiettivi generali: acquisire le conoscenze di base dell’Algebra relative a argomenti di teoria degli anelli e teoria dei campi.

Canale 1
DANIELE VALERI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Prima parte. Aritmetica su Z e modulare Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bézout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero-Fermat, il Piccolo Teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Seconda parte. Elementi di teoria dei gruppi Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teorema di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici (scrittura di una permutazione in cicli disgiunti, classe pari e dispari, permutazioni coniugate nel gruppo simmetrico). Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme. I teoremi di Sylow e applicazioni.
Prerequisiti
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nel corso di algebra lineare.
Testi di riferimento
Israel Herstein, Algebra, Editori Riuniti Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri S. Weintraub, Galois Theory Lecture Notes on Groups Theory di J. Milne
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria.
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa tre ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di almeno due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda a fine corso. La prima prova intermedia sarà incentrata principalmente sugli argomenti di aritmetica e teoria dei gruppi, la seconda sui restanti argomenti del corso. Sono ammessi alla prova orale gli studenti che abbiano ottenuto una votazione non inferiore a 17/30 nella prova scritta (o nella media delle due prove intermedie). Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Modalità di erogazione
Il corso prevede lezioni in aula ed esercitazioni.
Canale 2
FRANCESCO MEAZZINI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Aritmetica su Z e modulare. Divisione euclidea, MCD, algoritmo euclideo e identità di Bezout, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica. Congruenze, elementi invertibili di Z/mZ, funzione di Eulero, teorema di Eulero-Fermat, piccolo teorema di Fermat, equazioni e sistemi di equazioni congruenziali, teorema cinese del resto, RSA. Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali, quozienti, omomorfismi, teoremi di omomorfismo e di isomorfismo, elementi coniugati, teoremi di Lagrange e di Cayley. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici, prodotto diretto e semidiretto di gruppi, P-gruppi finiti. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Azioni di gruppo su un insieme, teoremi di Sylow, applicazioni.
Prerequisiti
Il corso richiede che lo studente conosca e padroneggi le nozioni di base impartite nel corso di Algebra Lineare.
Testi di riferimento
I. Herstein, Algebra, Editori Riuniti M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali alla lavagna.
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumMatematica per le applicazioni
  • Anno2º anno
  • Semestre1º semestre
  • SSDMAT/02
  • CFU6