ANALISI NUMERICA

Obiettivi formativi

Scopo del corso è di fornire una trattazione di base delle principali tecniche numeriche relative ai seguenti problemi: 1. Soluzione di sistemi lineari 2. Soluzione di sistemi non lineari 3. Interpolazione di funzioni e dati 4. Quadratura numerica 5. Integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie Il corso prevede anche attività di laboratorio per la realizzazione di programmi in    MATLAB. 1. Conoscenza e capacità di comprensione Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche relative ai temi trattati. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in base al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di implementare gli algoritmi in    MATLAB. 3. Autonomia di giudizio Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. 4. Capacità comunicative Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. 5. Capacità di apprendimento le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi numerica e del calcolo scientifico. Gli studenti prenderanno familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso.

Canale 1
SILVIA NOSCHESE Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
1. Soluzione di sistemi lineari e non lineari Analisi del condizionamento del problema. Norme vettoriali e norme matriciali indotte. Metodi diretti e metodi iterativi. Stabilità degli algoritmi. Matrici a banda, simmetriche, definite positive alcune proprietà e caratterizzazioni. Decomposizioni LU e PA=LU. Metodi diretti per alcune classi di matrici: Thomas, Cholesky. Metodi iterativi per i sistemi lineari. Convergenza e teorema del raggio spettrale. Alcuni esempi classici: Gauss-Seidel, Jacobi, SOR. Criteri di arresto. Confronto tra i metodi. Metodo di Newton in R^n. 
2. Approssimazione delle funzioni e delle derivate Interpolazione polinomiale di Lagrange e Hermite. Differenze divise e forma di Newton. Griglie uniformi e non uniformi, nodi di Chebyshev. Cenni sul condizionamento del problema e sulla stabilità degli algoritmi. Funzione e costante di Lebesgue. Splines cubiche. Proprietà di convergenza. Derivazione numerica tramite differenze finite e applicazioni. Approssimazione delle derivate tramite spline. 

3. Integrazione numerica Formule di Newton-Cotes chiuse ed aperte. Esempi: rettangoli, trapezi e Simpson. Formule gaussiane. Proprietà di convergenza e stime dell'errore. 

 4. Metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie Schemi numerici per la soluzione del Problema di Cauchy. Schemi espliciti e schemi impliciti, a passo singolo ed a k passi. Metodi ad un passo. Consistenza di ordine p, stabilità e convergenza. Errore locale e globale. Errori di calcolo ed analisi dell’errore. I metodi di Eulero, Heun, Eulero modificato, Eulero implicito, Crank-Nicolson. Schemi di tipo Runge-Kutta. 

Il corso prevede anche attività di laboratorio per la realizzazione di alcuni programmi in MATLAB corrispondenti agli algoritmi trattati.
Prerequisiti
Sono richieste nozioni di base di Analisi Matematica e di Algebra Lineare, quali quelle acquisite nei corsi di Calcolo I e II, Algebra Lineare e di Analisi Matematica I. E' inoltre richiesta la conoscenza di un linguaggio di programmazione (C, C++ o MATLAB) del livello acquisito nel corso di Laboratorio di Programmazione e Calcolo oppure in uno dei corsi di Abilità Informatiche (MATLAB in particolare).
Testi di riferimento
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, “Matematica numerica”, Springer, 2014
Modalità insegnamento
L'organizzazione del corso prevede: Lezioni frontali (70%), svolgimento di esercizi e programmi (30%). Il materiale sarà disponibile sulla piattaforma e-learning Sapienza.
Frequenza
fortemente raccomandata
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite prova scritta e prova orale. 
Nella prova scritta si chiederà di rispondere a quesiti teorici e di risolvere problemi abbastanza simili a quelli discussi in classe. La prova orale consisterà nella discussione di metodi illustrati nel corso, delle loro proprietà e della loro implementazione in MATLAB.
 Per superare l'esame occorre: - avere consegnato i fogli di esercizi; 
- avere un voto sufficiente nella prova scritta
; - avere superato la prova orale.
Bibliografia
W. Gautschi, “Numerical Analysis”, Birkhauser, 2012
Modalità di erogazione
L'organizzazione del corso prevede: Lezioni frontali (75%), svolgimento di esercizi e programmi in Laboratorio (25%). Il materiale sarà disponibile sulla piattaforma e-learning Sapienza.
  • Codice insegnamento1010982
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumMatematica per le applicazioni
  • Anno3º anno
  • Semestre1º semestre
  • SSDMAT/08
  • CFU6