Matematica

L’equazione e della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Onde progressive e regressive; formula di D’Alembert. 4. Introduzione alle distribuzioni; soluzioni nel senso delle distribuzioni; δ di Dirac, funzione di Green 5. Formula di Duhamel. 6. Onde stazionarie e serie di Fourier; serie di Fourier in forma complessa. 7. Disuguaglianza di Bessel e teorema di convergenza. 8. Metodo di Fourier per il problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo e con forzante. Trasformata di Fourier e pacchetti d’onda 1. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà; teorema di Plancherel-Parseval. 2. Trasformata di Fourier della gaussiana 3. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. L’equazione delle onde in Rn 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. 2. La lagrangiana e l’energia per l’equazione delle onde in Rn . Unicità di soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson; principio di Huygens. 5. Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde; onde piane; onde sferiche. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore, via trasformata di Fourier e per autosimilarità. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in Rn . 4. Soluzioni e comportamento asintotico dell’equazione del calore con e senza sorgenti, con le diverse condizioni al contorno, via Fourier o via funzione di Green. 5. Equazione del calore e passeggiata aleatoria. 6. Interpretazione probabilistica dell’equazione di Laplace nel caso discreto. Teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Funzione di Green e potenziale generato da una carica in Rn . 3. Regolarità e andamento asintotico del potenziale generato da una distribuzione di carica in Rn . 4. Identità di Green; formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. 5. Teoremi della media e principio del massimo per funzioni armoniche; teoremi di unicità. 6. Regolarità delle funzioni armoniche. Il problema di Poisson nei domini 1. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 2. Funzione di Green e sue proprietà. 3. Funzione di Green per la palla in R n e formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in Rn con dato continuo al bordo. 4. Inverso del teorema della media; disuguaglianza di Harnack; teorema di Liouville. 5. Unicità per il problema di Poisson in Rn con le opportune condizioni asintotiche.

Il corso richiede la conoscenza di concetti e metodi di base dei corsi di Meccanica Razionale, Analisi Matematica II, Analisi Reale ed Algebra Lineare acquisiti nei primi due anni della laurea triennale.

P. Buttà, Note del corso di Fisica Matematica (disponibili in rete) S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2016.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.

L’esame è una prova orale, che consiste nella discussione di alcuni tra gli argomenti più rilevanti illustrati nel corso e nella risoluzione di un semplice esercizio della tipologia di quelli proposti alla classe durante il corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente/la studentessa deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

V.I. Smirnov "Corso di Matematica Superiore II". Roma, Editori Riuniti, 1977. A. N Tichonov "Equazioni della fisica matematica". Mosca, MIR, 1981 A. N: Kolmogorov, S. V. Fomin "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale". Mosca, MIR, 1980.

Lezioni frontali (2/3 circa), esempi e esercizi (1/3 circa).

Teoria elementare delle distribuzioni, delta di Dirac. Richiami sulle serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Equazioni di Laplace e Poisson, proprieta' del potenziale, funzioni armoniche, principio del massimo e unicita'. Soluzione di problemi al contorno con il metodo della funzione di Green e con il metodo di Fourier. Altri problemi fisici che conducono alle equazioni di Laplace e Poisson. Derivazione dell'equazione della corda vibrante. Soluzione di D'Alembert, formula di Duhamel. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno in domini limitati con il metodo di Fourier. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione due e tre in tutto lo spazio. Equazioni di Maxwell nel vuoto, soluzione del problema di Cauchy, conservazione dell'energia, cenni ai campi radiativi. Legge di Fourier ed equazione del calore. Soluzione del problema di Cauchy in tutto lo spazio. Principio del massimo, unicita'. Soluzione dell'equazione del calore in domini limitati con il metodo di Fourier.

E' richiesta una buona conscenza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica II e Analisi Reale.

P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di P. Buttá S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010 A.N. Tichonov, A.A. Samarkij, Equazioni della fisica matematica, Mir, 1981 L.C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., 2004 A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir, 1981 V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore II, Ed. Riuniti, 1977 A. Teta, Appunti di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di A. Teta

La frequenza alle lezioni e' indispensabile per una buona comprensione dei contenuti del corso

Durante l'esame é richiesto allo studente di risolvere un esercizio del tipo di quelli risolti durante il corso e di discutere alcuni argomenti di teoria illustrati nel corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti e di essere in grado di applicare i metodi appresi nel corso ai più semplici tra gli esempi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).