Programma
Motivazioni e applicazioni dell'analisi numerica allo studio di equazioni differenziali ordinarie (ODE), sistemi dinamici, sistemi meccanici, campi vettoriali, interpretazione geometrica. Il problema di Cauchy per ODE, formulazione differenziale e integrale, esistenza e unicità locale e globale di soluzioni. Stabilità alla Lyapunov. Stabilità asintotica. Lemma di Gronwall, condizioni sufficienti alla stabilià di ODE. Metodi numerici ad un passo per la soluzione di ODE, idee generali sulla discretizzazione della formulazione differenziale e integrale. Metodi espliciti e impliciti, primi esempi (Eulero in avanti, Eulero all'indietro, Crank-Nicolson, Heun). Analisi dei metodi ad un passo, funzione incremento, errore locale di troncamento, consistenza e ordine di consistenza con esempi. Zero-stabilità dei metodi ad un passo per ODE. Lemma di Gronwall discreto, condizioni sufficienti alla zero-stabilità. Convergenza e ordine di convergenza. Teorema di equivalenza di Lax-Richtmyer.
Analisi di convergenza esplicita nel caso del metodo di Eulero in avanti. Stime di stabilità in presenza di errori di arrotondamento. Stabilità assoluta dei metodi ad un passo per ODE, problema lineare modello. Regione di stabilità assoluta, calcolo esplicito per i metodi Eulero in avanti, Eulero all'indietro, Crank-Nicolson, Heun. Metodi di Runge-Kutta, derivazione, tabella di Butcher, condizioni sufficienti per la consistenza, zero-stabilità. Costruzione dei metodi RK espliciti, ordine di convergenza in relazione al numero di stadi, stabilità assoluta, caratterizzazione della funzione di stabilità.
Sistemi di ODE: caso lineare, risoluzione tramite metodi impliciti; caso non lineare, risoluzione tramite iterazioni di punto fisso e metodo di Newton. Applicazione all'oscillatore armonico in una dimensione.
Metodi Multi-step lineari (LMM), forma generale, metodi espliciti e impliciti, valori di innesco, consistenza e ordine di consistenza, primi esempi (Midpoint, Simpson). Parallelismo tra equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti ed equazioni alle differenze. Condizioni algebriche equivalenti alla consistenza per un LMM. Primo e secondo polinomio caratteristico per un LMM, condizione delle radici, equivalenza con la zero-stabilità. Polinomio caratteristico per un LMM applicato al problema lineare modello, condizione assoluta delle radici, equivalenza con la stabilità assoluta. Comportamento qualitativo delle soluzioni numeriche di un LMM per una equazione omogenea, confronto tra la zero-stabilità e la condizione delle radici, confronto tra la assoluta stabilità e la condizione assoluta delle radici. Teorema di equivalenza per LMM, prima e seconda barriera di Dahlquist. Metodi di Adams espliciti (Adams-Bashforth (AB)) e impliciti (Adams-Moulton (AM)). Costruzione dei metodi AB e AM tramite polinomi interpolatori, consistenza, zero-stabilità e stabilità assoluta. Il boundary locus, un "trucco" per il calcolo del bordo della regione di stabilità assoluta. Metodi BDF (Backward Differentiation Formula), costruzione tramite polinomio interpolatore, consistenza, zero-stabilità e stabilità assoluta. Metodi Predictor-Corrector, modalità PEC, P(EC)^m, esempi. Ordine dei metodi P(EC)^m. Cenni sui metodi a passo variabile, stima a posteriori dell'errore di troncamento per l'adattività del passo.
Prerequisiti
Calcolo differenziale e integrale, elementi di teoria delle equazioni differenziali ordinarie (esistenza ed unicità, concetti di stabilità, risoluzione analitica di equazioni lineari), algebra lineare, programmazione C o Matlab. Il corso di Analisi Numerica è fortemente consigliato.
Testi di riferimento
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer.
Appunti delle lezioni in pdf e script Matlab di esempio.
Frequenza
La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata viste le modalità di svolgimento.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova teorica e in una prova pratica. La prova teorica si svolge in aula (max 3 ore) e prevede uno scritto con domande/esercizi relativi agli aspetti teorici trattati nel corso. La prova pratica si svolge in laboratorio (max 3 ore) e prevede la realizzazione di un codice per la risoluzione numerica di un sistema di ODE, tramite uno dei metodi studiati durante il corso, nonché la visualizzazione grafica dei risultati. Il voto finale terrà conto, in ugual misura, dei risultati ottenuti in entrambe le prove.
Bibliografia
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer.
Modalità di erogazione
Il corso si svolge interamente in laboratorio al fine di utilizzare i computer disponibili non solo per la parte di esercitazione e sviluppo codici, ma anche come ausilio alla comprensione dei concetti teorici trattati.
