SISTEMI DINAMICI

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Canale 1
PAOLO BUTTA' Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
- Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase. - Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold. - Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov. - Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte. - Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi. - Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson. - Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
Prerequisiti
Il corso richiede la conoscenza degli argomenti e strumenti di base che vengono introdotti nei corsi di analisi, algebra lineare, geometria e meccanica razionale della laurea triennale in matematica.
Testi di riferimento
P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo https://sites.google.com/uniroma1.it/paolobutta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.
Modalità insegnamento
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
Frequenza
La frequenza alle lezioni è consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.
Bibliografia
V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.) V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968. M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013. A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995. A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
PAOLO BUTTA' Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
- Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase. - Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold. - Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov. - Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte. - Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi. - Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson. - Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
Prerequisiti
Il corso richiede la conoscenza degli argomenti e strumenti di base che vengono introdotti nei corsi di analisi, algebra lineare, geometria e meccanica razionale della laurea triennale in matematica.
Testi di riferimento
P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo https://sites.google.com/uniroma1.it/paolobutta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.
Modalità insegnamento
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
Frequenza
La frequenza alle lezioni è consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.
Bibliografia
V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.) V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968. M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013. A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995. A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
  • Codice insegnamento1031365
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumAnalisi
  • Anno1º anno
  • Semestre2º semestre
  • SSDMAT/07
  • CFU6