Matematica

Obiettivi formativi

Conoscenza e capacità di comprensione: Il corso intende fornire le conoscenze utili per comprendere alcuni aspetti della fisica teorica, e specificamente della meccanica quantistica e della meccanica statistica. Particolare attenzione sara' dedicata
alla analisi delle ipotesi fondanti le due discipline. Attraverso lo studio di queste tematiche lo studente sarà in grado di comprendere l’evoluzione della fisica che si svolse agli inizi del secolo scorso, l' impatto che ebbero sullo sviluppo della societa' e la loro attuale importanza.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Il corso è finalizzato a fornire strumenti di analisi e valutazione dei fenomeni fisici su scale atomiche e sui comportamenti collettivi di grandi numeri di particelle interagenti. Tali conoscenze potranno essere esportate anche in campi diversi da quelli proposti nel corso.

Autonomia di giudizio: Attraverso lo studio degli approcci teorici alla base della meccanica quantistica e statistica lo studente potrà migliorare la propria capacità di interpretazione del reale.

Abilità comunicative: Lo sviluppo di abilità comunicative, prevalentemente orali, sarà stimolata attraverso la discussione in classe ed eventualmente con la partecipazione ad attività seminariali.

Capacità di apprendimento: La capacità di apprendimento sarà stimolata attraverso la discussione in aula, che includera' aspetti interattivi finalizzati anche a verificare l’effettiva comprensione degli argomenti trattati. La capacità di apprendimento sarà anche stimolata da supporti didattici integrativi (articoli originali) in modo da sviluppare le capacità applicative.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria degli automi.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con i concetti di automa deterministico e completo, di linguaggio riconoscibile, di automa non deterministico, di linguaggio razionale e di teoremi che descrivono alcune proprietà fondamentali di natura algebrica e combinatoria di queste strutture
(descrizione dei linguaggi accettati da automi in termini di congruenze di indice finito,
di operazioni razionali nel mondi libero delle stringhe su di un alfabeto dato, di modelli
non deterministici e di automi minimali).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche combinatorie e algebriche di teoria degli automi: costruzione di automi per il riconoscimento di linguaggi, proprietà algoritmiche e di decidibilità, strumenti per verificare la non riconoscibilità di linguaggi.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato dimistichezza con gli oggetti basilari della teoria. In particolare, saranno in grado di leggere criticamente le dimostrazioni dei risultati della teoria esposti nel corso e di analizzare relazioni ed analogie con argomenti di teoria matematica dei linguaggi formali e di teoria dei codici.

Capacità comunicative: capacità di esporre in forma scritta i risultati teorici e la soluzione degli esercizi proposti nella prova di esame.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, di aspetti più specialistici di teoria degli automi e di teoria matematica dei linguaggi formali.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: conoscenza rigorosa dei modelli probabilistici
dalle applicazioni alle relazioni con altre parti della matematica.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà
acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a spazi di
probabilità, variabili aleatorie, indipendenza, leggi dei grandi
numeri. funzioni caratteristiche, convergenza debole, teoremi limite.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente
sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di
tecniche probabilistiche sia nelle applicazioni che in problemi di
matematica pura.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per
analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e
argomenti di analisi o fisica matematica; acquisirà anche gli
strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi
classici.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte
orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella
prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno
studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti
più specialistici del calcolo delle probabilità.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:

Acquisire conoscenze in algebra lineare numerica e modellistica numerica per problemi differenziali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al termine del Corso gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi a metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari e di problemi agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali lineari e avranno acquisito tecniche relative alla implementazione degli algoritmi per la soluzione effettiva dei problemi trattati.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di usare le metodologie illustrate nel Corso per la soluzione numerica di un sistema lineare o di un problema agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali lineari, e saranno in grado di prevederne le prestazioni a seconda delle caratteristiche del problema da trattare.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di scegliere fra gli algoritmi che avranno studiato nel Corso quelli più adatti alla soluzione del problema considerato, avendo anche acquisito gli strumenti per apportare le modifiche che si rendessero necessarie per migliorarne le prestazioni.

Capacità comunicative: Gli studenti avranno maturato la capacità di esporre i concetti, le idee e le metodologie trattate nel Corso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di Laurea Magistrale, di aspetti più specialistici della algebra lineare numerica e della modellistica numerica per problemi differenziali, potendo comprenderne la terminologia specifica e identificarne i temi più rilevanti.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su
alcuni argomenti classici della Fisica-Matematica.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: conoscenza della teoria degli operatori
compatti autoaggiunti, delle applicazioni della di questa teoria
alla teoria del potenziale; fondamenti della meccanica hamiltoniana
e della meccanica quantistica.

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sara' in grado di
analizzare lo spettro di operatori, con qualche intuzione
anche per il caso illimitato; determinare
gli autovalori del laplaciano in domini con simmetrie;
tradurre in formalismo hamiltoniano
i problemi lagrangiani e portali alle quadrature;
discutere della soluzione dell'equazione
di Schroedinger in casi semplici ma fisicamente significativi.
Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti
opportuni esercizi, oggetto di verifica scritta.

Capacita' critiche e di giudizio:
capacita' di enucleare gli aspetti piu' significativi della teoria
del potenziale e della teoria del moto,
capacita' di riflettere su somiglianze e differenze tra il caso classico
e quello quantistico.

Capacità comunicative:
capacita' di enucleare i punti signifivativi della teoria,
di saper illustrare con esempi opportuni le parti piu' interessanti,
di discutere matematicamente dei punti piu' sottili.

Capacita' di apprendimento
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare
i corsi di fisica-matematica su argomenti piu' specialistici,
e permetteranno di comprendere, anche autonomamente,
la rilevanza fisica di questioni matematiche
discusse in altri corsi.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali:

Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti.

Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.

Obiettivi formativi

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno raggiunto una buona familiarità con le più recenti nozioni di soluzione e con le relative proprietà qualitative.Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali: Fornire agli studenti le nozioni di base relative allo studio di spazi funzionali che intervengono in vari campi. In particolare si studieranno gli operatori lineari fra spazi di Banach o di Hilbert e si analizzerà il loro spettro. Infine verranno presentate alcune tecniche di Analisi Funzionale non lineare adatte allo studio di problemi differenziali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all'Analisi Funzionale e a diverse sue applicazioni a problemi differenziali.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche di Analisi Funzionale.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:

Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche.
L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).

Applicare conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto.

Capacità critiche e di giudizio:

la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato.

Capacità comunicative:

capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni.

Capacità di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

Obiettivi formativi

1) Conoscenza e capacità di comprensione
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa avranno appreso:
a) il concetto di sistema di controllo, di inclusione differenziale e le loro proprietà fondamentali;
b) il concetto di controllo ottimale e le condizioni necessarie e/o sufficienti per la sua esistenza;
c) il legame fra soluzioni ottimali di un sistema di controllo e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman;
d) il concetto di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi.

2) Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa sarà in grado di:
a) formulare in termini matematici un problema di ottimizzazione basato su un sistema di controllo;
b) individuare, tramite l'uso del Principio di Massimo di Pontryagin, le eventuali soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo;
c) affrontare l'analisi teorica delle soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo attraverso lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman ad esso associata.

3) Autonomia di giudizio
Durante il periodo delle lezioni verranno proposti problemi da affrontare autonomamente.
Attraverso lo studio in autonomia di questi problemi e il loro successivo svoltimento collegiale in classe, lo studente/la studentessa
acquisirà sia la capacità di valutare le proprie competenze, che la capacità di affrontare un ampio spettro di problemi di controllo ottimo.

4) Abilità comunicative
Lo svolgimento in forma scritta degli esercizi assegnati, sia in classe che durante le prove d'esame, e lo svolgimento della prova orale, permetteranno allo studente/alla studentessa di valutare le proprie capacità di comunicare ad altri, in forma corretta, le conoscenze acquisite durante il corso.

5) Capacità di apprendimento
Alla fine del corso lo studente/la studentessa sarà in grado di affrontare lo studio problemi di controllo e ottimizzazione; tale abilità viene acquisita grazie allo svolgimento dei problemi distribuiti durante il periodo delle lezioni.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica Non Lineare e delle sue applicazioni nello studio delle equazioni differenziali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base per lo studio di problemi differenziali che si presentano in forma variazionale, in particolare nel caso di equazioni ellittiche semilineari.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di metodi variazionali per lo studio di punti critici di funzionali non lineari.
Capacità critiche e di giudizio: al termine del corso lo studente avra’ avuto modo di conoscere le nozioni ed i risultati principali della teoria variazionale delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico. Inoltre sarà in grado di individuare la metodologia idonea ad affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali non lineari.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di problemi variazionali non lineari che intervengono nello studio di Equazioni Differenziali , consentendo allo studente di proseguire nello studio anche di aspetti piu’ specialistici qualora ne fosse interessato.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali.

Il corso intende introdurre gli studenti alla teoria delle soluzioni di viscosita' e agli aspetti variazionali e metrici delle equazioni di Hamilton-Jacobi (HJ) del primo ordine (teoria KAM debole), illustrando alcune applicazioni a problemi asintotici.

Obiettivi specifici.

1. Conoscenza e capacità di comprensione.

Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della teoria delle soluzioni di viscosita' e degli aspetti metrici e variazionali delle equazioni di HJ del primo ordine (teoria KAM debole).

2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata.

Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di calcolare esplicitamente le soluzioni di equazioni di HJ in alcuni casi piu' semplici e di derivare delle informazioni qualitative nei casi piu' generali.

3. Capacità critiche e di giudizio.

Al termine del corso gli studenti avranno acquisito una conoscenza soddisfacente dei principali risultati e strumenti della teoria KAM debole, che fornirà loro un quadro interpretativo geometrico-dinamico dei vari fenomeni in gioco nello studio di equazioni di HJ del primo ordine.

4. Capacità comunicative.

Capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame.

5. Capacità di apprendimento.

Le conoscenze acquisite forniranno agli studenti le basi per affrontare lo studio di equazioni di HJ del primo ordine e per affacciarsi ad aspetti piu’ specialistici e di ricerca, ove interessati ad approfondire lo studio.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire nozioni di base di analisi armonica relative alla trasformata continua e discreta di Fourier e alle serie di Fourier, e conoscere le principali applicazioni a problemi sia teorici che pratici di tali metodi.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le principali nozioni su trasformata di Fourier continua e discreta, serie di Fourier, wavelets, e loro uso in alcuni ambiti teorici e pratici (equazioni differenziali, trattamento di immagini, teroia dei segnali).

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere problemi di livello base di analisi armonica, avra' acquisito familarita' con trasformate e serie di Fourier, e sara' in grado di applicare tali tecniche alla soluzione di vari problemi concreti.

Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per comprendere quando tecniche di analisi armonica possono essere utili come strumenti per la soluzione di problemi in vari ambiti dell'analisi e delle sue applicazioni.

Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e rispondere a quesiti teorici.

Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati dell'analisi armonica, e di argomenti applicativi piu' specifici.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali.
Acquisire conoscenze di base in geometria algebrica.

Obiettivi specifici.

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati
di base su varietà affini, proiettive, quasi-proiettive, dimensione, e prime proprietà locali/globali.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà gli strumenti per addentrarsi ed apprezzare la geometria algebrica moderna.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzerà l'interazione tra campi diversi quali sono l'algebra commutativa,
l'analisi complessa, la geometria analitica e proiettiva.

Capacità comunicative: capacità di esporre in modo chiaro parte della teoria esposta nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite saranno utili per lo studio di corsi più specialistici in geometria algebrica o complessa.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, connessioni e le differenti nozioni di curvatura, le geodetiche e i campi di Jacobi, la completezza e gli spazi a curvatura costante.

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di geometria riemanniana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito.

Capacità critiche e di giudizio:
lo studente avrà le basi per analizzare ed apprezzare le analogie e i collegamenti tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa.

Capacità comunicative:
capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti nei quesiti più teorici presenti nella prova scritta, e nell'eventuale parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria differenziale/riemanniana, ma anche di geometria analitica/differenziale complessa.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze e tecniche di base della Combinatoria delle permutazioni, enumerativa, degli insieme parzialmente ordinati, e delle partizioni di interi, e comprenderne le loro principali applicazioni.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Combinatoria delle permutazioni (con particolare riguardo ai problemi enumerativi, algebrici e algoritmici, random) e alla combinatoria enumerativa (soprattutto concernenti i suoi aspetti algebrici). Conoscerà anche almeno l'insieme dei problemi più significativi nell'ambito dei quali tali teorie trovano applicazioni.

Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l'uso di tecniche legate alla combinatoria delle permutazioni ed enumerativa e di discutere come si possano modellizzare problemi (in ambienti non prettamente matematici) per mezzo degli strumenti acquisiti.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare come argomenti della combinatoria e dell'Algebra ed Algebra Lineare trattati nei corsi di base possano trovare applicazioni in diversi ambiti ed essere strumento essenziale nella soluzione di problemi concreti.

Capacità comunicative: il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un possibile contesto interdisciplinare (per coloro che hanno conoscenze ed interessi verso la Matematica Applicata, l'Informatica, la Genetica, la cosiddetta "Data Science").

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia algebrica.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all’omologia e alla coomologia e alla teoria delle classi caratteristiche dei fibrati vettoriali.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’omotopia, all’omologia e alla coomologia e alle strutture algebriche ad esse legate.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di topologia (acquisiti nei corsi di Geometria 1-2), geometria differenziale (acquisiti nei corsi di Geometria 2, Geometria differenziale, Istituzioni di geometria superiore). Acquisirà inoltre anche strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio relativo ad aspetti più specialistici di topologia delle varietà differenziali e algebriche.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche in teoria delle rappresentazioni di algebre di Lie.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrˆà acquisito nozioni e i risultati avanzati relativi alla teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie di dimensione finita e avrˆà acquisito una prima familiaritˆà con i metodi omologici in teoria delle rappresentazioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarˆà in grado di leggere articoli di ricerca relativi agli argomento del corso.

Capacitˆà critiche e di giudizio: lo studente avrˆà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e i loro sviluppi in teoria delle rappresentazioni e algebra omologica.

Capacitˆà comunicative: capacitˆà di esporre in seminari argomenti che utilizzano tecniche e risultati affrontati nel corso.

Capacitˆà di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno l'avviamento alla ricerca in algebra, geometria.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di Geometria Algebrica su un anello qualsiasi.

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria
degli schemi, coomologia di fasci coerenti, teoria delle curve e superfici proiettive.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere e comprendere alcuni articoli di ricerca in Geometria Algebrica.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzera` le analogie tra la Geometria Algebrica classica (sui complessi) e la Teoria dei numeri.

Capacità comunicative: lo studente dovrà avere la capacità di esporre i contenuti del corso, in particolare sapendoli illustrare su esempi concreti.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati della Geometria Algebrica.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria dei processi stocastici e nella modellizzazione stocastica
di fenomeni reali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base riguardanti i processi stocastici a tempo discreto e a tempo continuo, su strutture discrete quali ad esempio grafi oppure su spazi continui.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di modellizzare l'evoluzione temporale di vari fenomeni reali tramite i processi stocastici, di analizzare la stazionarieta` e/o la reversibilita` temporale dei processi stocastici, di calcolare probabilita` di assorbimento e tempi attesi di assorbimento, di simulare processi stocastici e di stimare la velocita` di convergenza all'equilibrio.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per studiare sistemi dinamici stocastici e acquisire la capacita` di valutare la bonta` di un modello rispetto ad altri nella modellizzazione di fenomeni reali.

Capacità comunicative: dovendo sostenere una prova orale di teoria, gli studenti svilupperanno le capacita` comunicative necessarie per bene esporre la teoria matematica e i vari modelli considerati nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio più approfondito dei processi stocastici sia su spazi discreti che continui, aiutando lo studente nello studio di altri corsi quali ad esempio calcolo stocastico.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:
capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:
capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:
capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:
capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:
capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:
capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali

Il corso si propone di trasmettere agli studenti una conoscenza approfondita della struttura matematica della Meccanica Quantistica, delle motivazioni storico-critiche che hanno condotto alla sua formulazione e delle relazioni con altre discipline matematiche (analisi funzionale, teoria degli operatori, teoria dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni unitarie).

Obiettivi specifici

A) Conoscenze e capacità di comprensione
Al temine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni fondamentali relative alla teoria di Fourier, all'analogia formale tra meccanica classica e ottica geometrica, al percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica, e alla struttura matematica delle teorie quantistiche. Particolare spazio sarà dedicato agli aspetti dinamici (evoluzione temporale) e all'analisi matematica delle simmetrie dei sistemi fisici considerati (rappresentazioni del gruppo di simmetria del sistema).

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La conoscenza della teoria generale sarà completata dall'applicazione delle nozioni generali ad alcuni modelli specifici, e dalla capacità di analizzare le simmetrie e la dinamica di semplici sistemi quantistici. Tra essi una particella in un potenziale lineare, in un potenziale armonico, in un campo magnetico uniforme e in un potenziale Kepleriano (atomo idrogenoide). Lo studente sarà potenzialmente in grado di applicare autonomamente le nozioni acquisite all'analisi di sistemi più complessi, tra cui atomi non-idrogenoidi, molecole e solidi cristallini.

C) Autonomia di giudizio
L'analisi del percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica condurrà lo studente ad acquisire la capacità di giudicare autonomamente i presupposti concettuali su cui si basa una teoria fisico-matematica, e quindi a comprenderne l'ambito di applicazione e i limiti di validità. In tal modo, lo studente conquisterà la capacità di valutare in modo critico la validità di una teoria fisica, privilegiando un approccio epistemologico apofantico rispetto ad uno apodittico.
Lo studente sarà inoltre in grado di giudicare in autonomia la validità di un enunciato matematico, attraverso la disanima critica delle ipotesi e delle deduzioni che conducono alla dimostrazione rigorosa dell'enunciato stesso, e di
formulare, in modo autonomo, controesempi ad enunciati matematici in cui una delle ipotesi sia negata.

D) Abilità comunicative
Lo studente svilupperà la capacità di comunicare quanto appreso nella redazione di temi d'esame scritti e nell'esposizione svolta nel corso della prova orale. Sarà inoltre guidato a sviluppare la capacità di articolare un discorso in modo logicamente strutturato, distinguendo chiaramente tra ipotesi, procedimento deduttivo e conclusioni.

E) Capacità di apprendimento
Lo studente sarà in grado di identificare i temi più rilevanti delle materie trattate e connettere in modo logico le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.

Obiettivi formativi

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati
di base relativi all'omologia singolare, allo studio delle varietà differenziabili
e una discreta conoscenza della teoria delle superfici di Riemann.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere
problemi anche articolati che richiedano l’uso di tecniche legate alla coomologia di de Rham,
al teorema di Hurwitz e al Teorema di Riemann Roch per superfici di Riemann compatte;
sarà in grado di determinare il genere di una Superficie di Riemann e la dimensione dei sistemi lineari
i gruppi di coomologia delle varietà.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli
argomenti trattati che variano tra la topologia algebrica, la geometria differenziale, la geometria complessa
e anche la geometria algebrica.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli
eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di potersi dedicare ad aspetti più specialistici di geometria.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria elementare dei numeri e campi finiti (utili qualora si studino in altri corsi o contesti la crittografia a chiave pubblica o la teoria dei codici).

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria elementare dei numeri, alla risoluzione di equazioni alle confruenze (con particolare riguardo alle equazioni polinomiali), akke funzioni aritmetiche, alla teoria dei residui quadratici, al problema degli ampliamenti, alle estensioni e alla struttura dettagliata dei campi finiti.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alle equazioni alle congruenze, alle funzioni aritmetiche più importanti; sarà in grado di descrivere in modo concreto un campo finito e il suo gruppo di Galois.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per usare gli strumenti che sono alla base della crittografia a chiave pubblica e alla teoria dei codici correttori di errore. Scopo del corso, di natura esclusivamente teorica, è quindi di permettere agli studenti interessati in seguito agli ambiti applicativi crittografici di poter manipolare agevolmente gli oggetti matematici del corso.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti standard di teoria dei numeri e dei campi finiti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di geometria proiettiva classica e sulle curve algebriche piane.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla geometria proiettiva classica (proiettività, prospettive, birapporto, costruzioni con sola riga) ed alla teoria delle curve algebriche piane (Teorema di Bezout, singolarità, flessi e curve ellittiche).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche geometriche nello studio degli spazi proiettivi e delle curve algebriche.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di storia della matematica (sullo sviluppo della geometria proiettiva) e di uso delle curve ellittiche in crittografia.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di geometria algebrica e crittografia.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sulla teoria del’omologia simpliciale e dell’omologia persistente.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria dei gruppi abeliani finitamete generati, dei complessi simpliciali astratti, dell’omologia e delle possibili applicazioni all’analisi topologica dei dati.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche omologiche nello studio della teoria dei gruppi e dell’analisi dei dati.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di topologia algebrica ed (acquisiti nel corso di Topologia Algebrica). Lo studente avrà inoltre le basi per approcciare in maniera matematicamente corretta e formalizzata una parte di letteratura in analisi topologica dei dati.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di topologia algebrica e/o analisi topologica dei dati.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di geometria proiettiva classica e sulle curve algebriche piane.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla geometria proiettiva classica (proiettività, prospettive, birapporto, costruzioni con sola riga) ed alla teoria delle curve algebriche piane (Teorema di Bezout, singolarità, flessi e curve ellittiche).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche geometriche nello studio degli spazi proiettivi e delle curve algebriche.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di storia della matematica (sullo sviluppo della geometria proiettiva) e di uso delle curve ellittiche in crittografia.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di geometria algebrica e crittografia.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali:

Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti.

Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:
capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:
capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:

Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche.
L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).

Applicare conoscenza e comprensione:

al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto.

Capacità critiche e di giudizio:

la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato.

Capacità comunicative:

capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni.

Capacità di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Obiettivi formativi

1) Conoscenza e capacità di comprensione
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa avranno appreso:
a) il concetto di sistema di controllo, di inclusione differenziale e le loro proprietà fondamentali;
b) il concetto di controllo ottimale e le condizioni necessarie e/o sufficienti per la sua esistenza;
c) il legame fra soluzioni ottimali di un sistema di controllo e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman;
d) il concetto di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi.

2) Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Alla fine del corso, lo studente/la studentessa sarà in grado di:
a) formulare in termini matematici un problema di ottimizzazione basato su un sistema di controllo;
b) individuare, tramite l'uso del Principio di Massimo di Pontryagin, le eventuali soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo;
c) affrontare l'analisi teorica delle soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo attraverso lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman ad esso associata.

3) Autonomia di giudizio
Durante il periodo delle lezioni verranno proposti problemi da affrontare autonomamente.
Attraverso lo studio in autonomia di questi problemi e il loro successivo svoltimento collegiale in classe, lo studente/la studentessa
acquisirà sia la capacità di valutare le proprie competenze, che la capacità di affrontare un ampio spettro di problemi di controllo ottimo.

4) Abilità comunicative
Lo svolgimento in forma scritta degli esercizi assegnati, sia in classe che durante le prove d'esame, e lo svolgimento della prova orale, permetteranno allo studente/alla studentessa di valutare le proprie capacità di comunicare ad altri, in forma corretta, le conoscenze acquisite durante il corso.

5) Capacità di apprendimento
Alla fine del corso lo studente/la studentessa sarà in grado di affrontare lo studio problemi di controllo e ottimizzazione; tale abilità viene acquisita grazie allo svolgimento dei problemi distribuiti durante il periodo delle lezioni.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche in teoria delle rappresentazioni di algebre di Lie.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrˆà acquisito nozioni e i risultati avanzati relativi alla teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie di dimensione finita e avrˆà acquisito una prima familiaritˆà con i metodi omologici in teoria delle rappresentazioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarˆà in grado di leggere articoli di ricerca relativi agli argomento del corso.

Capacitˆà critiche e di giudizio: lo studente avrˆà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e i loro sviluppi in teoria delle rappresentazioni e algebra omologica.

Capacitˆà comunicative: capacitˆà di esporre in seminari argomenti che utilizzano tecniche e risultati affrontati nel corso.

Capacitˆà di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno l'avviamento alla ricerca in algebra, geometria.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali

Il corso si propone di trasmettere agli studenti una conoscenza approfondita della struttura matematica della Meccanica Quantistica, delle motivazioni storico-critiche che hanno condotto alla sua formulazione e delle relazioni con altre discipline matematiche (analisi funzionale, teoria degli operatori, teoria dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni unitarie).

Obiettivi specifici

A) Conoscenze e capacità di comprensione
Al temine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni fondamentali relative alla teoria di Fourier, all'analogia formale tra meccanica classica e ottica geometrica, al percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica, e alla struttura matematica delle teorie quantistiche. Particolare spazio sarà dedicato agli aspetti dinamici (evoluzione temporale) e all'analisi matematica delle simmetrie dei sistemi fisici considerati (rappresentazioni del gruppo di simmetria del sistema).

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La conoscenza della teoria generale sarà completata dall'applicazione delle nozioni generali ad alcuni modelli specifici, e dalla capacità di analizzare le simmetrie e la dinamica di semplici sistemi quantistici. Tra essi una particella in un potenziale lineare, in un potenziale armonico, in un campo magnetico uniforme e in un potenziale Kepleriano (atomo idrogenoide). Lo studente sarà potenzialmente in grado di applicare autonomamente le nozioni acquisite all'analisi di sistemi più complessi, tra cui atomi non-idrogenoidi, molecole e solidi cristallini.

C) Autonomia di giudizio
L'analisi del percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica condurrà lo studente ad acquisire la capacità di giudicare autonomamente i presupposti concettuali su cui si basa una teoria fisico-matematica, e quindi a comprenderne l'ambito di applicazione e i limiti di validità. In tal modo, lo studente conquisterà la capacità di valutare in modo critico la validità di una teoria fisica, privilegiando un approccio epistemologico apofantico rispetto ad uno apodittico.
Lo studente sarà inoltre in grado di giudicare in autonomia la validità di un enunciato matematico, attraverso la disanima critica delle ipotesi e delle deduzioni che conducono alla dimostrazione rigorosa dell'enunciato stesso, e di
formulare, in modo autonomo, controesempi ad enunciati matematici in cui una delle ipotesi sia negata.

D) Abilità comunicative
Lo studente svilupperà la capacità di comunicare quanto appreso nella redazione di temi d'esame scritti e nell'esposizione svolta nel corso della prova orale. Sarà inoltre guidato a sviluppare la capacità di articolare un discorso in modo logicamente strutturato, distinguendo chiaramente tra ipotesi, procedimento deduttivo e conclusioni.

E) Capacità di apprendimento
Lo studente sarà in grado di identificare i temi più rilevanti delle materie trattate e connettere in modo logico le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire nozioni di base di analisi armonica relative alla trasformata continua e discreta di Fourier e alle serie di Fourier, e conoscere le principali applicazioni a problemi sia teorici che pratici di tali metodi.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le principali nozioni su trasformata di Fourier continua e discreta, serie di Fourier, wavelets, e loro uso in alcuni ambiti teorici e pratici (equazioni differenziali, trattamento di immagini, teroia dei segnali).

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere problemi di livello base di analisi armonica, avra' acquisito familarita' con trasformate e serie di Fourier, e sara' in grado di applicare tali tecniche alla soluzione di vari problemi concreti.

Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per comprendere quando tecniche di analisi armonica possono essere utili come strumenti per la soluzione di problemi in vari ambiti dell'analisi e delle sue applicazioni.

Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e rispondere a quesiti teorici.

Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati dell'analisi armonica, e di argomenti applicativi piu' specifici.

Obiettivi formativi

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di Geometria Algebrica su un anello qualsiasi.

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria
degli schemi, coomologia di fasci coerenti, teoria delle curve e superfici proiettive.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere e comprendere alcuni articoli di ricerca in Geometria Algebrica.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzera` le analogie tra la Geometria Algebrica classica (sui complessi) e la Teoria dei numeri.

Capacità comunicative: lo studente dovrà avere la capacità di esporre i contenuti del corso, in particolare sapendoli illustrare su esempi concreti.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati della Geometria Algebrica.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:

Acquisire conoscenze in algebra lineare numerica e modellistica numerica per problemi differenziali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al termine del Corso gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi a metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari e di problemi agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali lineari e avranno acquisito tecniche relative alla implementazione degli algoritmi per la soluzione effettiva dei problemi trattati.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di usare le metodologie illustrate nel Corso per la soluzione numerica di un sistema lineare o di un problema agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali lineari, e saranno in grado di prevederne le prestazioni a seconda delle caratteristiche del problema da trattare.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di scegliere fra gli algoritmi che avranno studiato nel Corso quelli più adatti alla soluzione del problema considerato, avendo anche acquisito gli strumenti per apportare le modifiche che si rendessero necessarie per migliorarne le prestazioni.

Capacità comunicative: Gli studenti avranno maturato la capacità di esporre i concetti, le idee e le metodologie trattate nel Corso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di Laurea Magistrale, di aspetti più specialistici della algebra lineare numerica e della modellistica numerica per problemi differenziali, potendo comprenderne la terminologia specifica e identificarne i temi più rilevanti.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: conoscenza rigorosa dei modelli probabilistici
dalle applicazioni alle relazioni con altre parti della matematica.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà
acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a spazi di
probabilità, variabili aleatorie, indipendenza, leggi dei grandi
numeri. funzioni caratteristiche, convergenza debole, teoremi limite.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente
sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di
tecniche probabilistiche sia nelle applicazioni che in problemi di
matematica pura.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per
analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e
argomenti di analisi o fisica matematica; acquisirà anche gli
strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi
classici.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte
orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella
prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno
studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti
più specialistici del calcolo delle probabilità.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su
alcuni argomenti classici della Fisica-Matematica.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: conoscenza della teoria degli operatori
compatti autoaggiunti, delle applicazioni della di questa teoria
alla teoria del potenziale; fondamenti della meccanica hamiltoniana
e della meccanica quantistica.

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sara' in grado di
analizzare lo spettro di operatori, con qualche intuzione
anche per il caso illimitato; determinare
gli autovalori del laplaciano in domini con simmetrie;
tradurre in formalismo hamiltoniano
i problemi lagrangiani e portali alle quadrature;
discutere della soluzione dell'equazione
di Schroedinger in casi semplici ma fisicamente significativi.
Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti
opportuni esercizi, oggetto di verifica scritta.

Capacita' critiche e di giudizio:
capacita' di enucleare gli aspetti piu' significativi della teoria
del potenziale e della teoria del moto,
capacita' di riflettere su somiglianze e differenze tra il caso classico
e quello quantistico.

Capacità comunicative:
capacita' di enucleare i punti signifivativi della teoria,
di saper illustrare con esempi opportuni le parti piu' interessanti,
di discutere matematicamente dei punti piu' sottili.

Capacita' di apprendimento
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare
i corsi di fisica-matematica su argomenti piu' specialistici,
e permetteranno di comprendere, anche autonomamente,
la rilevanza fisica di questioni matematiche
discusse in altri corsi.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, connessioni e le differenti nozioni di curvatura, le geodetiche e i campi di Jacobi, la completezza e gli spazi a curvatura costante.

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di geometria riemanniana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito.

Capacità critiche e di giudizio:
lo studente avrà le basi per analizzare ed apprezzare le analogie e i collegamenti tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa.

Capacità comunicative:
capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti nei quesiti più teorici presenti nella prova scritta, e nell'eventuale parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria differenziale/riemanniana, ma anche di geometria analitica/differenziale complessa.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica Non Lineare e delle sue applicazioni nello studio delle equazioni differenziali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base per lo studio di problemi differenziali che si presentano in forma variazionale, in particolare nel caso di equazioni ellittiche semilineari.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di metodi variazionali per lo studio di punti critici di funzionali non lineari.
Capacità critiche e di giudizio: al termine del corso lo studente avra’ avuto modo di conoscere le nozioni ed i risultati principali della teoria variazionale delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico. Inoltre sarà in grado di individuare la metodologia idonea ad affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali non lineari.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di problemi variazionali non lineari che intervengono nello studio di Equazioni Differenziali , consentendo allo studente di proseguire nello studio anche di aspetti piu’ specialistici qualora ne fosse interessato.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali.

Il corso intende introdurre gli studenti alla teoria delle soluzioni di viscosita' e agli aspetti variazionali e metrici delle equazioni di Hamilton-Jacobi (HJ) del primo ordine (teoria KAM debole), illustrando alcune applicazioni a problemi asintotici.

Obiettivi specifici.

1. Conoscenza e capacità di comprensione.

Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della teoria delle soluzioni di viscosita' e degli aspetti metrici e variazionali delle equazioni di HJ del primo ordine (teoria KAM debole).

2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata.

Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di calcolare esplicitamente le soluzioni di equazioni di HJ in alcuni casi piu' semplici e di derivare delle informazioni qualitative nei casi piu' generali.

3. Capacità critiche e di giudizio.

Al termine del corso gli studenti avranno acquisito una conoscenza soddisfacente dei principali risultati e strumenti della teoria KAM debole, che fornirà loro un quadro interpretativo geometrico-dinamico dei vari fenomeni in gioco nello studio di equazioni di HJ del primo ordine.

4. Capacità comunicative.

Capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame.

5. Capacità di apprendimento.

Le conoscenze acquisite forniranno agli studenti le basi per affrontare lo studio di equazioni di HJ del primo ordine e per affacciarsi ad aspetti piu’ specialistici e di ricerca, ove interessati ad approfondire lo studio.

Obiettivi formativi

OBIETTIVI GENERALI: acquisire una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi e delle principali tecniche impiegate nel loro studio (Teoria della Misura, Teoria delle Distibuzioni, Trasformata di Fourier).

OBIETTIVI SPECIFICI:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi, e delle metodologie necessarie al loro studio.

Applicare conoscenza e comprensione: lo studente potra' utilizzare le conoscenze ottenute in molti ambiti diversi, in particolare in problemi di teoria delle equazioni alle derivate parziali.

Capacita' critiche e di giudizio: il corso ha un carattere formativo e permettera' allo studente di approfondire la sua comprensione di alcuni temi fondamentali dell'Analisi Matematica.

Capacita' comunicative: lo studente sara' in grado di comprendere un testo scientifico di complessita' elevata e di esporne i concetti principali.

Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite metteranno lo studente in grado di accedere allo studio di corsi piu' avanzati di Analisi.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di geometria proiettiva classica e sulle curve algebriche piane.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla geometria proiettiva classica (proiettività, prospettive, birapporto, costruzioni con sola riga) ed alla teoria delle curve algebriche piane (Teorema di Bezout, singolarità, flessi e curve ellittiche).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche geometriche nello studio degli spazi proiettivi e delle curve algebriche.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di storia della matematica (sullo sviluppo della geometria proiettiva) e di uso delle curve ellittiche in crittografia.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di geometria algebrica e crittografia.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base sulla teoria del’omologia simpliciale e dell’omologia persistente.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria dei gruppi abeliani finitamete generati, dei complessi simpliciali astratti, dell’omologia e delle possibili applicazioni all’analisi topologica dei dati.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche omologiche nello studio della teoria dei gruppi e dell’analisi dei dati.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di topologia algebrica ed (acquisiti nel corso di Topologia Algebrica). Lo studente avrà inoltre le basi per approcciare in maniera matematicamente corretta e formalizzata una parte di letteratura in analisi topologica dei dati.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di topologia algebrica e/o analisi topologica dei dati.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di geometria proiettiva classica e sulle curve algebriche piane.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla geometria proiettiva classica (proiettività, prospettive, birapporto, costruzioni con sola riga) ed alla teoria delle curve algebriche piane (Teorema di Bezout, singolarità, flessi e curve ellittiche).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del modulo lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche geometriche nello studio degli spazi proiettivi e delle curve algebriche.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di storia della matematica (sullo sviluppo della geometria proiettiva) e di uso delle curve ellittiche in crittografia.

Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di esporre correttamente i contenuti del corso ad un pubblico di persone dotate di appropriate conoscenze matematiche.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o
impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati di geometria algebrica e crittografia.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria degli automi.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con i concetti di automa deterministico e completo, di linguaggio riconoscibile, di automa non deterministico, di linguaggio razionale e di teoremi che descrivono alcune proprietà fondamentali di natura algebrica e combinatoria di queste strutture
(descrizione dei linguaggi accettati da automi in termini di congruenze di indice finito,
di operazioni razionali nel mondi libero delle stringhe su di un alfabeto dato, di modelli
non deterministici e di automi minimali).

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche combinatorie e algebriche di teoria degli automi: costruzione di automi per il riconoscimento di linguaggi, proprietà algoritmiche e di decidibilità, strumenti per verificare la non riconoscibilità di linguaggi.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato dimistichezza con gli oggetti basilari della teoria. In particolare, saranno in grado di leggere criticamente le dimostrazioni dei risultati della teoria esposti nel corso e di analizzare relazioni ed analogie con argomenti di teoria matematica dei linguaggi formali e di teoria dei codici.

Capacità comunicative: capacità di esporre in forma scritta i risultati teorici e la soluzione degli esercizi proposti nella prova di esame.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, di aspetti più specialistici di teoria degli automi e di teoria matematica dei linguaggi formali.

Obiettivi formativi

Obiettivi Generali
Il corso tratterà alcune questioni fondamentali della ricerca contemporanea in algoritmi nell'ambito della complessità computazionale, degli algoritmi probabilistici e del machine learning.

Obiettivi formativi

Obiettivi principali
Obiettivi dell’insegnamento sono: 1) conoscere la diversità biologica e i principi della classificazione dei viventi, con dettagli sulla diversificazione degli animali; 2) conoscere i principi di funzionamento dei sistemi corporei; 3) comprendere i principi dell’evoluzione biologica; 4) comprendere i principi basilari dell’ecologia.

Obiettivi specifici
A) Conoscenze e capacità di comprensione
- Acquisire un bagaglio minimo di conoscenze sulla Biodiversità
- Comprendere il funzionamento dei principali sistemi degli organismi viventi.
- Comprendere i meccanismi di base dell’evoluzione biologica e dell’ecologia.

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- avere compreso i caratteri condivisi dai viventi (cellule, tessuti, sistemi, funzioni riproduttive, meccanismi evolutivi, interazioni con l’ambiente)
- saper individuare aspetti adattativi degli organismi
- saper applicare le conoscenze acquisite per progettare semplici esperienze osservazionali su organismi (es. dissezioni di preparati; osservazioni microscopiche)

C) Autonomia di giudizio
- saper collegare conoscenze elementari di biologia (da modulo I) con quelle del modulo II per comprendere il funzionamento e i processi biologici a livello organismico ed ecosistemico.
-aver appreso il metodo scientifico per acquisire nuove conoscenze con senso critico
- essere un cittadino più consapevole (competenze di cittadinanza) sui grandi temi della nostra epoca (es. conservazione della biodiversità)

D) Abilità comunicative
-saper comunicare le conoscenze acquisite e riflettere insieme attraverso discussioni di gruppo

E) Capacità di apprendimento
- saper utilizzare le conoscenze sul funzionamento degli organismi e degli ecosistemi per approfondire temi relativi all’educazione alla salute e alla bioetica

Obiettivi formativi

Obiettivi principali
Obiettivi dell’insegnamento sono: 1) conoscere la diversità biologica e i principi della classificazione dei viventi, con dettagli sulla diversificazione degli animali; 2) conoscere i principi di funzionamento dei sistemi corporei; 3) comprendere i principi dell’evoluzione biologica; 4) comprendere i principi basilari dell’ecologia.

Obiettivi specifici
A) Conoscenze e capacità di comprensione
- Acquisire un bagaglio minimo di conoscenze sulla Biodiversità
- Comprendere il funzionamento dei principali sistemi degli organismi viventi.
- Comprendere i meccanismi di base dell’evoluzione biologica e dell’ecologia.

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- avere compreso i caratteri condivisi dai viventi (cellule, tessuti, sistemi, funzioni riproduttive, meccanismi evolutivi, interazioni con l’ambiente)
- saper individuare aspetti adattativi degli organismi
- saper applicare le conoscenze acquisite per progettare semplici esperienze osservazionali su organismi (es. dissezioni di preparati; osservazioni microscopiche)

C) Autonomia di giudizio
- saper collegare conoscenze elementari di biologia (da modulo I) con quelle del modulo II per comprendere il funzionamento e i processi biologici a livello organismico ed ecosistemico.
-aver appreso il metodo scientifico per acquisire nuove conoscenze con senso critico
- essere un cittadino più consapevole (competenze di cittadinanza) sui grandi temi della nostra epoca (es. conservazione della biodiversità)

D) Abilità comunicative
-saper comunicare le conoscenze acquisite e riflettere insieme attraverso discussioni di gruppo

E) Capacità di apprendimento
- saper utilizzare le conoscenze sul funzionamento degli organismi e degli ecosistemi per approfondire temi relativi all’educazione alla salute e alla bioetica

Obiettivi formativi

Obiettivi principali
Obiettivi dell’insegnamento sono: 1) conoscere la gerarchia dei livelli di organizzazione in biologia; 2) conoscere i modelli principali di organizzazione cellulare dei viventi; 3) comprendere la struttura e le funzioni principali della cellula eucariotica; 4) comprendere le basi molecolari dell’ereditarietà e dell’espressione genica.

Obiettivi specifici
A) Conoscenze e capacità di comprensione
- Acquisire un bagaglio minimo di conoscenze sull’organizzazione cellulare dei viventi
- Comprendere la struttura e le funzioni principali della cellula eucariotica e le differenze tra cellula animale e cellula vegetale.
- Comprendere le basi molecolari dell’ereditarietà e dell’espressione genica.

B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- avere compreso che il “sistema cellula” è alla base di tutte le funzioni dei viventi
- aver compreso l’importanza in biologia, dell’osservazione e della descrizione
- saper osservare e saper descrivere con precisione
- saper applicare le conoscenze acquisite per progettare semplici esperienze sulle cellule da eseguire con le proprie mani e con attrezzature minime di laboratorio

C) Autonomia di giudizio
- saper collegare conoscenze elementari di matematica, fisica e chimica con quelle di biologia per comprendere l’organizzazione cellulare e i processi biologici a livello cellulare.
-aver appreso il metodo scientifico per acquisire nuove conoscenze con senso critico
- essere un cittadino più consapevole (competenze di cittadinanza) sui grandi temi biologici attuali

D) Abilità comunicative
-saper comunicare le conoscenze acquisite e riflettere insieme attraverso discussioni di gruppo

E) Capacità di apprendimento
- saper utilizzare le conoscenze sul funzionamento cellulare per approfondire temi relativi all’educazione alla salute e alla bioetica

Obiettivi formativi

Obiettivi Generali: Lo scopo del corso è quello di tramandare i fondamenti della crittografia, che è la componente principale per la sicurezza nelle applicazioni digitali odierne.

Obiettivi Specifici: Gli studenti impareranno la metodologia della sicurezza dimostrabile, che permette di dimostrare la sicurezza dei moderni crittosistemi in senso matematico.

Conoscenza e Comprensione:
-) Conoscenza dei fondamenti matematici della crittografia moderna.
-) Conoscenza delle principali assunzioni crittografiche, su cui si basa la sicurezza dei moderni crittosistemi.
-) Conoscenza degli schemi crittografici usati nella vita reale. Comprensione delle loro proprietà (teoriche e pratiche).

Applicare Conoscenza e Comprensione:
-) Come selezionare la giusta primitiva crittografica per una data applicazione.
-) Come analizzare la sicurezza di un dato crittosistema.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di giudicare se una data primitiva crittografica è sicura oppure no.

Capacità Comunicative: Come descrivere la sicurezza di una costruzione crittografica nel linguaggio della sicurezza dimostrabile.

Capacità di Apprendimento Successivo: Gli studenti interessati alla ricerca verranno a conoscenza di alcuni problemi aperti nell'area, ed otterranno le basi necessarie per studi più approfonditi in materia.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Introdurre lo studente ai risultati fondamentali della statistica matematica e alle applicazioni più significative, anche attraverso la discussione di casi concreti e di software statistico.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base che riguardano i problemi di stima puntuale, per intervallo e i problemi di verifica delle ipotesi, nonché i principali metodi con cui questi si affrontano: metodo dei momenti, della massima verosimiglianza e generalizzazioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di valutare il grado di accuratezza con cui, in semplici problemi statistici, si possono stimare parametri o validare ipotesi su questi, implementando queste risposte in un software opportuno.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà modo di apprezzare gli strumenti probabilistici utili ad affrontare i problemi statistici e i vari approcci alla risoluzione degli stessi.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio successivo di aspetti più recenti e avanzati della statistica matematica.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nell’analisi delle serie temporali.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ai modelli matematici delle serie temporali: processi stazionari e non, modelli lineari multivariati, modelli ARIMA, analisi stettrale, trend, test di indipendenza seriale.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici casi di analisi di serie temporali stazionarie e non e di stimare i parametri, il trend, la deviazione standard del rumore e di diagnosticare i residui.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di base di algebra lineare, analisi, probabilita’, statistica.

Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e nei quesiti proposti durante la prova pratica di laboratorio e la prova orale.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito, di metodi avanzati di analisi di serie di dati reali.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici.

Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti.

Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti.

Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate.

Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

Obiettivi formativi

l corso si concentra sullo studio dei metodi matriciali per il Data Mining. L'informazione contenuta in grandi quantità di dati, usufruita per esempio dai motori di ricerca (es. Google), oppure usata nello studio di dati climatici e nel pattern recognition è spesso gestibile solo grazie all’uso di tecniche matriciali avanzate di alto livello. Ci occuperemo della risoluzione numerica di sistemi lineari di grandi dimensioni, della risoluzione numerica di problemi agli autovalori e valori singolari di grandi dimensioni, del calcolo di funzioni di matrici, e della gestione di grafi. Nel corso studieremo queste tecniche, partendo dagli aspetti analitici della teoria delle Matrici ed arrivando al loro utilizzo pratico nel Data Mining di testi ed immagini.
Il corso prevede anche attività di laboratorio per la realizzazione in MATLAB degli algoritmi trattati a lezione.

1. Conoscenza e capacità di comprensione
Gli studenti che abbiano superato l'esame sapranno come risolvere alcuni problemi importanti del Data Mining e conosceranno i principali metodi numerici in questo campo. Avranno familiarità con i concetti e le tecniche della Data Science.

2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di organizzare vari tipi di dati in modo efficiente e di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Inoltre, saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB.

3. Autonomia di giudizio
Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.

4. Capacità comunicative
Gli studenti sapranno esporre e spiegare la soluzione di alcuni esercizi proposti, sia alla lavagna che su computer.

5. Capacità di apprendimento
Le conoscenze acquisite permetteranno agli studenti di costruire le basi per lo studio degli aspetti più specialistici della Data Science e dei metodi numerici in questa area.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali:

Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico.

Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti.

Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze e tecniche di base della Combinatoria delle permutazioni, enumerativa, degli insieme parzialmente ordinati, e delle partizioni di interi, e comprenderne le loro principali applicazioni.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Combinatoria delle permutazioni (con particolare riguardo ai problemi enumerativi, algebrici e algoritmici, random) e alla combinatoria enumerativa (soprattutto concernenti i suoi aspetti algebrici). Conoscerà anche almeno l'insieme dei problemi più significativi nell'ambito dei quali tali teorie trovano applicazioni.

Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l'uso di tecniche legate alla combinatoria delle permutazioni ed enumerativa e di discutere come si possano modellizzare problemi (in ambienti non prettamente matematici) per mezzo degli strumenti acquisiti.

Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare come argomenti della combinatoria e dell'Algebra ed Algebra Lineare trattati nei corsi di base possano trovare applicazioni in diversi ambiti ed essere strumento essenziale nella soluzione di problemi concreti.

Capacità comunicative: il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso.

Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un possibile contesto interdisciplinare (per coloro che hanno conoscenze ed interessi verso la Matematica Applicata, l'Informatica, la Genetica, la cosiddetta "Data Science").

Obiettivi formativi

Obiettivi generali:
acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, connessioni e le differenti nozioni di curvatura, le geodetiche e i campi di Jacobi, la completezza e gli spazi a curvatura costante.

Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di geometria riemanniana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito.

Capacità critiche e di giudizio:
lo studente avrà le basi per analizzare ed apprezzare le analogie e i collegamenti tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa.

Capacità comunicative:
capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti nei quesiti più teorici presenti nella prova scritta, e nell'eventuale parte orale della verifica.

Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria differenziale/riemanniana, ma anche di geometria analitica/differenziale complessa.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali: rivisitare gli sviluppi degli argomenti base dell’insegnamento scolastico (geometria,
aritmetica, analisi) alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base
relative alla geometria di Euclide, e alle teorie ad essa alternative – dalle geometrie non euclidee
alle teorie pensate espressamente per la didattica. Conoscerà i metodi usati per la misura delle
figure geometriche. Saprà ripercorrere gli ampliamenti dei sistemi numerici, dai naturali ai
complessi, e le relative proprietà. Saprà confrontare l’approccio al concetto di limite tramite le
successioni e tramite le funzioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di
riconoscere la validità di una dimostrazione nell’ambito della geometria euclidea, e saprà
confrontare dimostrazioni in assiomatiche diverse. Conoscerà alcuni risultati classici relativi ai
fondamenti dell’algebra e dell’analisi e saprà svilupparli secondo differenti punti di vista. 

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente rivisiterà gli sviluppi degli argomenti base
dell’insegnamento scolastico (geometria, aritmetica, analisi) nel loro complesso, analizzandoli da un
punto di vista critico e alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari.

Capacità comunicative: Lo studente sarà capace di esporre i contenuti durante la verifica orale,
nella discussione in aula, e negli approfondimenti che presenterà nel corso di una delle lezioni.

Capacità di apprendimento: Lo studente sarà in grado di confrontare teorie e approcci diversi per
l’introduzione dei vari argomenti, e sarà in grado di operare scelte nel curriculum scolastico.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Al temine del corso lo studente saprà affrontare questioni relative all'insegnamento della matematica delle scuole secondarie.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base relative alle diverse teorie didattiche e conoscerà diversi approcci per l'insegnamento di argomenti specifici. Saprà inquadrare i concetti principali di varie aree matematiche e avrà raggiunto una buona familiarità con aspetti didattici fondamentali, quali il collegamento fra diversi settori della matematica.

Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di discutere le scelte didattiche tradizionali. Saprà progettare attività didattiche e preparare schede di valutazione, tenendo conto di difficoltà didattiche. Conoscerà software di geometria dinamica e saprà come usarli nell'insegnamento.

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al metodo matematico. Avrà riflettuto sui contenuti matematici noti e saprà affrontare in modo critico questioni di didattica della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dei software nell'insegnamento della matematica.

Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare ad altri quanto appreso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze e competenze di base in teoria assiomatica degli insiemi e saperle applicare in vari contesti, anche di carattere didattico.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi agli argomenti trattati: assiomi della teoria ZF e principali risultati; numeri ordinali; l'assioma di scelta; i numeri cardinali; paradossi in vari campi della matematica.

Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente è in grado di risolvere esercizi e problemi relativi agli argomenti trattati e ad applicazioni in altre aree della matematica. Sa eseguire calcoli con numeri ordinali e numeri cardinali; ha una buona familiarità con il concetto di infinito matematico. Sa anche applicare i concetti visti in contesti di carattere didattico.

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al rigore e al formalismo matematico. Ha riflettuto sui contenuti matematici noti e sa affrontare in modo critico questioni sui fondamenti della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dell'intuizione e del rigore nell'insegnamento della matematica, in varie situazioni.

Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare quanto appreso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Conoscere e comprendere alcuni temi e problemi che rientrano nel campo di studio della didattica delle scienze matematiche, fisiche e della natura.
Imparare a guardare, riconoscere e valorizzare i nessi con le scienze e con la loro storia, di manufatti e luoghi delle città.
Far sperimentare attraverso l’esempio vissuto in prima persona, modalità diversificate e attive di insegnamento-apprendimento, in cui anche il corpo e il movimento nell’ambiente siano strumenti di conoscenza. Valorizzare l’operatività concreta legata al pensare e al progettare materiali didattici attivi. Applicare le conoscenze didattico-pedagogiche nella realizzazione di progetti educativi. Responsabilizzare gli allievi rispetto alla co-costruzione della loro conoscenza.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Riconoscere il portato di conoscenza anche di tipo scientifico di manufatti e luoghi della città. Aver fatto esperienza di lettura di testi di carattere scientifico (testi diretti di scienziati, o di storia della scienza o di carattere epistemologico) ponendosi domande anche in relazione al coinvolgimento della scienza nella storia di un’epoca, nella cultura e nella storia delle società, nelle problematiche di genere e di tipo interculturale. Conoscere e comprendere gli aspetti metodologici e didattici delle esperienze proposte e delle attività realizzate nel corso, in relazione alle tematiche scientifiche affrontate.

Al completamento del corso lo studente avrà una conoscenza avanzata di aspetti di ricerca nei campi delle scienze, quali i passaggi dalla descrizione alla successiva schematizzazione, alla quantificazione e alla ricerca delle cause di un fenomeno osservato. Avrà anche sviluppato conoscenze sul piano storico epistemologico nell’ambito delle scienze. [Descrittore di Dublino n. 1].
Le competenze acquisite riguarderanno una maggiore capacità a lavorare in gruppo, a formulare domande con linguaggio chiaro corretto, a riflettere sul proprio apprendimento e sulle proprie difficoltà e incertezze conoscitive, ad analizzare gli aspetti educativi dal punto di vista di diverse discipline coinvolte nelle azioni educative e formative. Avrà integrato modalità di uso del proprio corpo e delle proprie capacità sensoriali tra gli strumenti del conoscere. [Descrittore di Dublino n. 2].
Le competenze trasversali acquisite riguardano la capacità critiche e di giudizio potenziate dalla partecipazione alle attività di riflessione e di laboratorio e alla capacità di porsi domande e utilizzare un metodo di tipo indiziario. [Descrittore di Dublino n. 3].
Le attività intermedie del corso e quelle finali nella forma delle “Bancarelle delle scienze” organizzate dagli studenti in modo autonomo, anche in gruppi, e presentate a destinatari specialisti e non, permetteranno di utilizzare abilità espositive, di scelta di domande, di materiali e problemi pertinenti, anche in base all’età dei destinatari, e di mettere in campo capacità di valutazione a posteriori delle azioni proposte, in un’ottica multidisciplinare. [Descrittore di Dublino n. 4].
Aver maturato capacità di metariflessione sul proprio e altrui modo sia di porsi di fronte a contenuti nuovi e a tematiche relative alle discipline scientifiche, sia di affrontare incertezze e difficoltà di comprensione affinchè lo studente sia maggiormente in grado di proseguire lo studio in modo autonomo nel corso della vita ed approfondire i temi scientifici e quelli specifici della progettazione in ambito educativo ed affrontare criticamente, con l’ottica della complessità, materiali relativi alle discipline scientifiche. [Descrittore di Dublino n. 5].

Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di ideare, progettare e valutare interventi e progetti educativi attraverso visite museali e in spazi significativi antropici e della natura, e di selezionare e scartare informazioni pertinenti ai temi studiati in contesti formali e informali.

Obiettivi formativi

Obiettivi Formativi

Obiettivi generali: rivisitare gli sviluppi degli argomenti base dell’insegnamento scolastico (geometria,
aritmetica, analisi) alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base
relative alla geometria di Euclide, e alle teorie ad essa alternative – dalle geometrie non euclidee
alle teorie pensate espressamente per la didattica. Conoscerà i metodi usati per la misura delle
figure geometriche. Saprà ripercorrere gli ampliamenti dei sistemi numerici, dai naturali ai
complessi, e le relative proprietà. Saprà confrontare l’approccio al concetto di limite tramite le
successioni e tramite le funzioni.

Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di
riconoscere la validità di una dimostrazione nell’ambito della geometria euclidea, e saprà
confrontare dimostrazioni in assiomatiche diverse. Conoscerà alcuni risultati classici relativi ai
fondamenti dell’algebra e dell’analisi e saprà svilupparli secondo differenti punti di vista. 

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente rivisiterà gli sviluppi degli argomenti base
dell’insegnamento scolastico (geometria, aritmetica, analisi) nel loro complesso, analizzandoli da un
punto di vista critico e alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari.

Capacità comunicative: Lo studente sarà capace di esporre i contenuti durante la verifica orale,
nella discussione in aula, e negli approfondimenti che presenterà nel corso di una delle lezioni.

Capacità di apprendimento: Lo studente sarà in grado di confrontare teorie e approcci diversi per
l’introduzione dei vari argomenti, e sarà in grado di operare scelte nel curriculum scolastico.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Al temine del corso lo studente saprà affrontare questioni relative all'insegnamento della matematica delle scuole secondarie.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base relative alle diverse teorie didattiche e conoscerà diversi approcci per l'insegnamento di argomenti specifici. Saprà inquadrare i concetti principali di varie aree matematiche e avrà raggiunto una buona familiarità con aspetti didattici fondamentali, quali il collegamento fra diversi settori della matematica.

Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di discutere le scelte didattiche tradizionali. Saprà progettare attività didattiche e preparare schede di valutazione, tenendo conto di difficoltà didattiche. Conoscerà software di geometria dinamica e saprà come usarli nell'insegnamento.

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al metodo matematico. Avrà riflettuto sui contenuti matematici noti e saprà affrontare in modo critico questioni di didattica della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dei software nell'insegnamento della matematica.

Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare ad altri quanto appreso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze e competenze di base in teoria assiomatica degli insiemi e saperle applicare in vari contesti, anche di carattere didattico.

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi agli argomenti trattati: assiomi della teoria ZF e principali risultati; numeri ordinali; l'assioma di scelta; i numeri cardinali; paradossi in vari campi della matematica.

Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente è in grado di risolvere esercizi e problemi relativi agli argomenti trattati e ad applicazioni in altre aree della matematica. Sa eseguire calcoli con numeri ordinali e numeri cardinali; ha una buona familiarità con il concetto di infinito matematico. Sa anche applicare i concetti visti in contesti di carattere didattico.

Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al rigore e al formalismo matematico. Ha riflettuto sui contenuti matematici noti e sa affrontare in modo critico questioni sui fondamenti della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dell'intuizione e del rigore nell'insegnamento della matematica, in varie situazioni.

Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare quanto appreso.

Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Obiettivi formativi

Conoscere e comprendere alcuni temi e problemi che rientrano nel campo di studio della didattica delle scienze matematiche, fisiche e della natura.
Imparare a guardare, riconoscere e valorizzare i nessi con le scienze e con la loro storia, di manufatti e luoghi delle città.
Far sperimentare attraverso l’esempio vissuto in prima persona, modalità diversificate e attive di insegnamento-apprendimento, in cui anche il corpo e il movimento nell’ambiente siano strumenti di conoscenza. Valorizzare l’operatività concreta legata al pensare e al progettare materiali didattici attivi. Applicare le conoscenze didattico-pedagogiche nella realizzazione di progetti educativi. Responsabilizzare gli allievi rispetto alla co-costruzione della loro conoscenza.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Riconoscere il portato di conoscenza anche di tipo scientifico di manufatti e luoghi della città. Aver fatto esperienza di lettura di testi di carattere scientifico (testi diretti di scienziati, o di storia della scienza o di carattere epistemologico) ponendosi domande anche in relazione al coinvolgimento della scienza nella storia di un’epoca, nella cultura e nella storia delle società, nelle problematiche di genere e di tipo interculturale. Conoscere e comprendere gli aspetti metodologici e didattici delle esperienze proposte e delle attività realizzate nel corso, in relazione alle tematiche scientifiche affrontate.

Al completamento del corso lo studente avrà una conoscenza avanzata di aspetti di ricerca nei campi delle scienze, quali i passaggi dalla descrizione alla successiva schematizzazione, alla quantificazione e alla ricerca delle cause di un fenomeno osservato. Avrà anche sviluppato conoscenze sul piano storico epistemologico nell’ambito delle scienze. [Descrittore di Dublino n. 1].
Le competenze acquisite riguarderanno una maggiore capacità a lavorare in gruppo, a formulare domande con linguaggio chiaro corretto, a riflettere sul proprio apprendimento e sulle proprie difficoltà e incertezze conoscitive, ad analizzare gli aspetti educativi dal punto di vista di diverse discipline coinvolte nelle azioni educative e formative. Avrà integrato modalità di uso del proprio corpo e delle proprie capacità sensoriali tra gli strumenti del conoscere. [Descrittore di Dublino n. 2].
Le competenze trasversali acquisite riguardano la capacità critiche e di giudizio potenziate dalla partecipazione alle attività di riflessione e di laboratorio e alla capacità di porsi domande e utilizzare un metodo di tipo indiziario. [Descrittore di Dublino n. 3].
Le attività intermedie del corso e quelle finali nella forma delle “Bancarelle delle scienze” organizzate dagli studenti in modo autonomo, anche in gruppi, e presentate a destinatari specialisti e non, permetteranno di utilizzare abilità espositive, di scelta di domande, di materiali e problemi pertinenti, anche in base all’età dei destinatari, e di mettere in campo capacità di valutazione a posteriori delle azioni proposte, in un’ottica multidisciplinare. [Descrittore di Dublino n. 4].
Aver maturato capacità di metariflessione sul proprio e altrui modo sia di porsi di fronte a contenuti nuovi e a tematiche relative alle discipline scientifiche, sia di affrontare incertezze e difficoltà di comprensione affinchè lo studente sia maggiormente in grado di proseguire lo studio in modo autonomo nel corso della vita ed approfondire i temi scientifici e quelli specifici della progettazione in ambito educativo ed affrontare criticamente, con l’ottica della complessità, materiali relativi alle discipline scientifiche. [Descrittore di Dublino n. 5].

Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di ideare, progettare e valutare interventi e progetti educativi attraverso visite museali e in spazi significativi antropici e della natura, e di selezionare e scartare informazioni pertinenti ai temi studiati in contesti formali e informali.