SISTEMI DINAMICI
Obiettivi formativi
Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione alle applicazioni in meccanica e nelle scienze applicate in generale. In particolare, impareranno elementi di teoria della stabilità e di teoria iperbolica (quali intersezioni omocline ed esistenza di moti caotici). Impareranno inoltre elementi di teoria dei sistemi dinamici topologici e di teoria ergodica. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio e di moti periodici, sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.
Canale 1
PAOLO BUTTA'
Scheda docente
Programmi - Frequenza - Esami
Programma
- Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Campi vettoriali e flussi di fase. Legge di trasformazione dei campi vettoriali. Il teorema della scatola di flusso. Mappe stroboscopiche e sezioni di Poincaré.
- Flussi e mappe lineari, norme adattate e decomposizione in sottospazi invarianti. Sottospazio centrale, moto condizionatamente periodico e traslazioni sul toro. Teorema sulla coincidenza delle medie.
- Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.
- Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Equilibri attrattivi, bacini di attrazione e funzioni di Liapunov. Stabilità di un ciclo: sezioni locali e mappe di primo ritorno.
- Sistemi planari. Sistemi conservativi. Orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.
- Cenni di teoria della biforcazione. Esempi di biforcazione per sistemi autonomi in dimensione uno dipendenti da un parametro reale. Un esempio di biforcazione di Hopf.
- Sistemi dinamici topologici: transitività e mescolamento topologico, caoticità. La mappa del gatto di Arnold. Teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
- Introduzione alla teoria ergodica: distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici.
Prerequisiti
Il corso richiede la conoscenza degli argomenti e strumenti di base che vengono introdotti nei corsi di analisi, algebra lineare, geometria e meccanica razionale della laurea triennale in matematica.
Testi di riferimento
P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo http://www.mat.uniroma1.it/people/butta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.
Modalità insegnamento
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
Frequenza
La frequenza alle lezioni è consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.
Bibliografia
V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.)
V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968.
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013.
A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995.
A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
PAOLO BUTTA'
Scheda docente
Programmi - Frequenza - Esami
Programma
- Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Campi vettoriali e flussi di fase. Legge di trasformazione dei campi vettoriali. Il teorema della scatola di flusso. Mappe stroboscopiche e sezioni di Poincaré.
- Flussi e mappe lineari, norme adattate e decomposizione in sottospazi invarianti. Sottospazio centrale, moto condizionatamente periodico e traslazioni sul toro. Teorema sulla coincidenza delle medie.
- Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.
- Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Equilibri attrattivi, bacini di attrazione e funzioni di Liapunov. Stabilità di un ciclo: sezioni locali e mappe di primo ritorno.
- Sistemi planari. Sistemi conservativi. Orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.
- Cenni di teoria della biforcazione. Esempi di biforcazione per sistemi autonomi in dimensione uno dipendenti da un parametro reale. Un esempio di biforcazione di Hopf.
- Sistemi dinamici topologici: transitività e mescolamento topologico, caoticità. La mappa del gatto di Arnold. Teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
- Introduzione alla teoria ergodica: distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici.
Prerequisiti
Il corso richiede la conoscenza degli argomenti e strumenti di base che vengono introdotti nei corsi di analisi, algebra lineare, geometria e meccanica razionale della laurea triennale in matematica.
Testi di riferimento
P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo http://www.mat.uniroma1.it/people/butta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.
Modalità insegnamento
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
Frequenza
La frequenza alle lezioni è consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.
Modalità di esame
L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.
Bibliografia
V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.)
V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968.
M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013.
A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995.
A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali con esempi ed esercizi.
- Codice insegnamento1031365
- Anno accademico2024/2025
- CorsoMatematica applicata
- CurriculumModellistica numerica differenziale
- Anno1º anno
- Semestre2º semestre
- SSDMAT/07
- CFU6
- Ambito disciplinareAttività formative affini o integrative