Matematica applicata

INTRODUZIONE Cos'è la Modellizzazione? Modelli discreti, di Equazioni Differenziali Ordinarie ed alle derivate Parziali. Successione di Fibonacci. Metodo risolutivo grafico. Passaggio dal discreto al continuo. I EDO Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto. I.1 Integrali Indefiniti Teorema Fondamentale del Calcolo; condizioni al bordo per l'unicità; Principio del Confronto; stime a-priori e utilizzo nel teorema di Ascoli-Arzela. I.2 EDO lineari I.3 EDO non-lineari Stime a-priori; teorema di Cauchy-Lipschitz mediante contrazioni; Principio del Confronto tra soluzioni e tra sotto/sopra soluzioni: lemma di Gronwall; dipendenza continua dalle condizioni iniziali. I.4 Studio Qualitativo di EDO Autonome Conseguenze del Principio del Confronto: positività ed esistenza globale; soluzioni stazionarie (o equilibri); stabilità, stabilità asintotica e stabilità lineare (es. oscillatore armonico); insiemi invarianti: condizione sufficiente; teorema di Brouwer per la ricerca di equilibri [S.D.] ; soluzioni periodiche: condizione sufficiente, attrattività e teorema di Poincaré Bendixson [S.D.] ; attrattore di Lorentz; comportamento asintotico in dimensione N=1. II Modelli di EDO II.1 Reti di reazioni chimiche Transizioni semplici e reversibili; reti generali: esistenza di equilibri, loro stabilità (teorema di Gerschgorin [S.D.]), principio del confronto per sistemi cooperativi, applicazione: soluzioni positive e limitate; teorema di Perron-Frobenius [S.D.], convergenza verso l'unico equilibrio. II.2 Dinamica di popolazione ad una specie Fisher-KPP ed effetto Allee debole e forte. II.3 Dinamica di popolazioni a 2 specie: Sistemi monotoni (cooperazione, competizione) e non; il modello preda/predatore di Lotka-Volterra. II.4 Modelli epidemiologici Modello SI; modello SIR; il numero R_0; riduzione all'equazione KPP; comportamento asintotico e numero totale dei contagi. III EDP Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto. III.1 Equazioni Paraboliche lineari - Derivazione microscopica dell'equazione di diffusione - Equazione del calore: soluzione fondamentale; esistenza per il problema di Cauchy; equazione con sorgente (principio di Duhamel) e problema di Cauchy (principio di sovrapposizione) - Principio del Massimo debole e forte, unicità per soluzioni limitate; contro-esempio all'unicità - Stime a priori [S.D.] III .2 Equazioni Paraboliche semilineari - Principio del Confronto debole e forte - Esistenza ed unicità locali - Stime a priori [S.D.] III .3 Equazioni Paraboliche in domini limitati - Principio del massimo debole - tecnica della riflessione per ricondursi a tutto R [S.D.] IV Modelli di PDE IV.1 Equazione di reazione-diffusione di Fisher-KPP - Dominio limitato: condizioni al bordo di Neumann; invasione completa verso 1. - Dominio limitato: condizioni al bordo di Dirichlet; unicità della soluzione stazionaria positiva; comportamento in tempo lungo: estinzione/persistenza della specie in base alla taglia del dominio. - Dominio illimitato: R; comportamento in tempo lungo ed effetto "hair-trigger"; deduzione dell'unicità della soluzione stazionaria positiva.

Il corso richiede familiarità con l'algebra lineare di base, le equazioni differenziali ordinarie ed alcuni concetti relativi alle derivate parziali di tipo parabolico

Corrado Mascia, Eugenio Montefusco, Andrea Terracina, BioMat 1.0, Editrice LaDotta. Thomas Giletti, EDP paraboliques pour la dynamique des populations (dispense)

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria

L'esame consta di una prova scritta facoltativa e di una orale obbligatoria. Per superare l'esame occorre conseguire un voto complessivo non inferiore a 18/30.

Martin Feinberg, Foundations of Chemical Reaction Network Theory, Springer. James Keener, James Sneyd, Mathematical Physiology, Springer. James D. Murray, Mathematical Biology I and II, Springer.

Le lezioni del corso saranno tenute in aula, in presenza

INTRODUZIONE Cos'è la Modellizzazione? Modelli discreti, di Equazioni Differenziali Ordinarie ed alle derivate Parziali. Successione di Fibonacci. Metodo risolutivo grafico. Passaggio dal discreto al continuo. I EDO Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto. I.1 Integrali Indefiniti Teorema Fondamentale del Calcolo; condizioni al bordo per l'unicità; Principio del Confronto; stime a-priori e utilizzo nel teorema di Ascoli-Arzela. I.2 EDO lineari I.3 EDO non-lineari Stime a-priori; teorema di Cauchy-Lipschitz mediante contrazioni; Principio del Confronto tra soluzioni e tra sotto/sopra soluzioni: lemma di Gronwall; dipendenza continua dalle condizioni iniziali. I.4 Studio Qualitativo di EDO Autonome Conseguenze del Principio del Confronto: positività ed esistenza globale; soluzioni stazionarie (o equilibri); stabilità, stabilità asintotica e stabilità lineare (es. oscillatore armonico); insiemi invarianti: condizione sufficiente; teorema di Brouwer per la ricerca di equilibri [S.D.] ; soluzioni periodiche: condizione sufficiente, attrattività e teorema di Poincaré Bendixson [S.D.] ; attrattore di Lorentz; comportamento asintotico in dimensione N=1. II Modelli di EDO II.1 Reti di reazioni chimiche Transizioni semplici e reversibili; reti generali: esistenza di equilibri, loro stabilità (teorema di Gerschgorin [S.D.]), principio del confronto per sistemi cooperativi, applicazione: soluzioni positive e limitate; teorema di Perron-Frobenius [S.D.], convergenza verso l'unico equilibrio. II.2 Dinamica di popolazione ad una specie Fisher-KPP ed effetto Allee debole e forte. II.3 Dinamica di popolazioni a 2 specie: Sistemi monotoni (cooperazione, competizione) e non; il modello preda/predatore di Lotka-Volterra. II.4 Modelli epidemiologici Modello SI; modello SIR; il numero R_0; riduzione all'equazione KPP; comportamento asintotico e numero totale dei contagi. III EDP Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto. III.1 Equazioni Paraboliche lineari - Derivazione microscopica dell'equazione di diffusione - Equazione del calore: soluzione fondamentale; esistenza per il problema di Cauchy; equazione con sorgente (principio di Duhamel) e problema di Cauchy (principio di sovrapposizione) - Principio del Massimo debole e forte, unicità per soluzioni limitate; contro-esempio all'unicità - Stime a priori [S.D.] III .2 Equazioni Paraboliche semilineari - Principio del Confronto debole e forte - Esistenza ed unicità locali - Stime a priori [S.D.] III .3 Equazioni Paraboliche in domini limitati - Principio del massimo debole - tecnica della riflessione per ricondursi a tutto R [S.D.] IV Modelli di PDE IV.1 Equazione di reazione-diffusione di Fisher-KPP - Dominio limitato: condizioni al bordo di Neumann; invasione completa verso 1. - Dominio limitato: condizioni al bordo di Dirichlet; unicità della soluzione stazionaria positiva; comportamento in tempo lungo: estinzione/persistenza della specie in base alla taglia del dominio. - Dominio illimitato: R; comportamento in tempo lungo ed effetto "hair-trigger"; deduzione dell'unicità della soluzione stazionaria positiva.

Il corso richiede familiarità con l'algebra lineare di base, le equazioni differenziali ordinarie ed alcuni concetti relativi alle derivate parziali di tipo parabolico

Corrado Mascia, Eugenio Montefusco, Andrea Terracina, BioMat 1.0, Editrice LaDotta. Thomas Giletti, EDP paraboliques pour la dynamique des populations (dispense)

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria

L'esame consta di una prova scritta facoltativa e di una orale obbligatoria. Per superare l'esame occorre conseguire un voto complessivo non inferiore a 18/30.

Martin Feinberg, Foundations of Chemical Reaction Network Theory, Springer. James Keener, James Sneyd, Mathematical Physiology, Springer. James D. Murray, Mathematical Biology I and II, Springer.

Le lezioni del corso saranno tenute in aula, in presenza