CLAUDIA PINZARI

Cari studenti,

le lezioni del corso di  Calcolo e Biostatistica per Biologi sono erogate in presenza e online.

In presenza si svolgono in Aula Grassi, via Borelli, 20.

Questi sono i link per le lezioni online.

meet.google.com/fdo-qfro-eef lezione di lunedi` 16-18

meet.google.com/arh-hgqj-qpk lezione di martedi` 12-14

meet.google.com/ran-wpoo-ujq  lezione di mercoledi` 14-16

A partire dal 12 novembre si aggiungera` un ulteriore spazio di due ore da fissare,

e aggiornero` la bacheca per tempo.

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Le lezioni del corso di Analisi per Fisici anche esse sono erogate in presenza

e online.

In presenza, nell' aula 7 del Nuovo Edificio (Fermi)

e i link per connettersi alle lezioni sono qui https://www.phys.uniroma1.it/fisica/strutture/aule

per domande, contattatemi per email a pinzari@mat.uniroma1.it (di preferenza)

oppure claudia.pinzari@uniroma1.it

CURRICULUM VITAE CLAUDIA PINZARI

Full Name: Claudia Pinzari

Born: in Rome, May 21, 1966.

Citizenship: Italian;

email: claudia.pinzari@uniroma1.it, claudia.pinzari@legalmail.it (PEC)

Foreign Languages: English, Spanish (basic), French (basic)

1. Education
• Master degree (Laurea quadriennale): March 14, 1990, University of Rome La Sapienza. Re- search thesis in operator algebras and abstract harmonic analysis (in Italian) “ Actions of com- pact groups on Cuntz C∗–algebras ” advisor: Prof. Sergio Doplicher . Evaluation: 110/110 cum laude,
• PhD (dottorato di ricerca): January 26, 1996, University of Rome La Sapienza. PhD thesis on abstract duality theory for locally compact quantum groups and operator algebras, “ Actions of Hopf C∗-algebras on C∗-algebras and Multiplicative unitaries ” (in Italian), Advisor: Prof. Sergio Doplicher. Evaluation: “ excellent ”.

2. Appointments
• 1990-91: In April 1990 award CNR Scholarship for Undergraduates for Italy for the aca-
demic year. 1990-91, ranked third 39.8/40 points.
• 1990-91: In September 1990 award postgraduate scholarship at the INdAM “ Francesco Severi ” for the academic year 1990-91, ranked ninth in the merit ranking with 48.6/50.
• 1991-1995: February 1991 award PhD scholarship in mathematics, VI cycle, at the University of Rome “ La Sapienza”.
• 1994-1995: In June 1994 award Post Doctoral Scholarship at the Fields Institute for Re- search in Mathematical Sciences in Waterloo, Canada, where spent the academic year from October 22, 1994 till August 31, 1995.
• 1995-96: award “ von Neumann ” Post Doctoral Scholarship from the European Commu- nity, in the “ Human Capital and Mobility ” program. In September 1995 I begun the scholarship at Department of Mathematics of the University Copenhagen, and I spent an academic year there, by invitation by Prof. Gert K. Pedersen.
• 1999-2000: In June 1999award CNR - NATO advanced Post Doctoral Scholarship for abroad, Call No. 215.31, ranked second with 48/50 points. I carried studies and research at MIT in Cambridge, USA, under the invitation by Prof. Isi Singer, from October 1999 to August 2000.
• April-May 1999: In June 1999 I was awarded a postdoctoral EEC contract in March 1999 at the University of Orleans, France, for the period April-May 1999, invited by Prof. Claire Anantharaman-Delaroche.
• April-May 2000: In April 2000, General Membership contract for 11 weeks at MSRI of Berkeley, USA.
• July-December 2007 Scientific Researcher for the Thematic Program on Operator Algebras’ at the Fields Institute for Research in Toronto Mathematical Sciences.
• August 25-December 14, 2008: In September 2008 I was invited by Prof. Longo to partici- pate in the ‘Operator program Algebras and Conformal Field Theory ’at ESI for Mathematical Physics in Vienna.
• January 9-June 23, 2017: I was invited to participate in the semester program ‘Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences’, Cambridge, entitled Operator Algebras: Subfactors and Applications, scientific committee by Profs. D. Evans (Cardiff University), M. Izumi (Kyoto University), V. F. R. Jones (Vanderbilt University).
3. Permanent positions in Italy
• 1992–2000 University Researcher in Mathematical Analysis at the University of Rome “ Tor Vergata ”, confirmed in 1995.
• 2000 to present, associate professor, I have been hired in November 2000 by the Faculty of Sciences MFN of the University of Rome ’La Sapienza’, and confirmed at end of the first three years.
4. Leaves of absence
• Congedo straordinario, Dal 21-9-94 al 21-12-94 per studio e ricerca scientifica • Congedo straordinario Dal 1-09-95 al 31-08-96 per studio e ricerca scientifica
• Congedo per maternita` Dal 21-7-97 al 24-01-98 astensione obbligatoria piu` congedo facolta- tivo.
• Congedo straordinario Dal 1-10-1999 al 5-10-2000 per studio e ricerca.
• Congedo per maternita` Dal 09-12-2000 al 28-6-2001 astensione obbligatoria piu` congedo fa-
coltativo.
• Anno Sabbatico dal 1 settembre 2018 al 31 agosto 2019. This leave of absence was granted by the department on the basis of the following research program (in Italian), which is divided in project 1) and project 2). These projects are included in Project B and Project A, respectively, described in more detail in a following Section with title Funded Research Projects. Related publications are described in the last sections 17, 18.
Programma di ricerca:
Stato dell’arte: 1) Una costruzione di gruppoide quantistico C∗ associato alla importante catego- ria modulare di tipo A ‘e stato costruito per la prima volta a partire dagli anni novanta [dal lavoro dei fisici Mack e Schomerus] in un lavoro che ho scritto in collaborazione con il dottorando S. Ciamprone della Sapienza, apparso sulla rivista Advances in Mathematics nel 2017.
2) Uno studio dettagliato della nozione di componente connessa dell’identita` per un gruppo quantistico compatto e` stato effettuato in un lavoro in collaborazione con L. Cirio, A. D’Andrea, S. Rossi pubblicato sul Journal of Functional Analysis nel 2014. Inoltre, la nozione di crescita polinomiale e dimensione topologica per gruppi quantistici discreti e loro duali e` stata messa in relazione mediante la dimensione di Gelfand e Kirillov in un lavoro del 2017 pubblicato su Annales de l’Institut Fourier in collaborazione con Stefano Rossi, dottore di ricerca Sapienza, e Alessandro D’Andrea, professore associato del dipartimento di matematica della Sapienza.
Descrizione del progetto:
1) Si intende proseguire lo studio delle categorie tensoriali di interesse nelle categorie con- formi mediante l’uso di algebre deboli quasi Hopf. In particolare si vuole studiare la questione di unitarizzabilita‘ di categorie tensoriali, come pure lo studio della relazione tra la costruzione dei modelli di net conformi dovuti a Wassermann associata LSU(n) e la costruzione del gruppoide precedentemente menzionato associato al gruppo quantistico di Drinfeld-Jimbo su sl N alle
radici dell’unita‘. L’ambizioso progetto include il problema di stabilire equivalenza tensoriale tra categorie di rappresentazioni di net conformi con quelle di algebre di operatori di vertice. Questo ‘e un progetto in collaborazione con S. Carpi, Universita` G. D’Annunzio di Chieti-Pescara, e S. Ciamprone, dottore di ricerca. Si intendono inoltre studiare le algebre quasi-Hopf deboli che emergono in questi contesti mediante una introduzione di interpretazione comologica. Precisa- mente, si desidera studiare se il 3-cociclo che emerge in tali algebre sia un 3-cobordo in una comologia non abeliana per valori radici primitive dell’unita` del parametro di deformazione. Si tratta di un complesso problema che includerebbe i ben noti lavori di Kazhdan e Lusztig e Finkelberg relativi alla costruzione di strutture tensoriali. Si prevedono col- laborazioni con Lars Tuset e Sergey Neshveyev studiosi presso le universita` di Oslo, che sono esperti di queste problematiche per valori generici del parametro di deformazione.
2) Si vuole proseguire lo studio topologico e di crescita polinomiale dei gruppi quantistici discreti e dei loro duali. Questo e` un lavoro in collaborazione con A. D’Andrea.
5. Studies in International Research Institutes
• 1994 – 1995 Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, postdoctoral fellow, par- ticipation in special program dedicated to Operator Algebras and Applications, scientific com- mittee Prof. G. Elliott. I participated in PhD courses on Classification of C∗–algebras and von Neumann algebras. I also participated in a series of workshops and conferences dedicated to the Baum-Connes conjecture; to Dynamic Systems in the context of C∗-algebras; Classification of amenable C∗-algebras; Operator algebras, free products and random matrices; Jones theory of subfactors; Low dimensional topology; Statistical mechanics and field theory. I gave two seminars on my research activity on [33] and [22].
• 1995-1996 Department of Mathematics, University of Copenhagen, EU postdoctoral fellow. I followed seminars of the research group in Operator Algebras, had several discussions with Richard Nest on our joint research projects, with Carl Winsløw and with Gert K. Pedersen. I gave a talk on my research activity on the Hecke algebra associated to the Woronowicz quantum group SUq(d), publication [12].
• 4-5/1999 Department of Mathematics, University of Orleans, Visiting Professor. I discussed with Claire Anantharaman Delaroche, and gave a talk on publication [18].
• 1999-2000 Massachusetts Institute of Technology, University of Cambridge, Massachusetts, Nato-Advanced fellow. I followed the seminar scientific committee P. Etingof at MIT and had discussions with I. Singer.
• 9/2000 Visiting Professor presso MSRI, Berkeley, USA. in occasione del programma speciale ‘Operator Algebras’ per l’a.a. 2000-2001. I followed the school courses and gave a talk on publication [18]
• Early career short visits: University of Odense, Denmark, 1995; University of Trondheim, Norway, 1996; University Paris VII, 1998, and gave talks on [12], [23], [14], [16].
6. Invited talks at International and National conferences
• (1) NATO Conference on Operator Algebras, Mathematical Physics and low dimensional topology, Istambul, 1–5 luglio, 1991;
• (2) Oji Seminar on Quantum Analysis, Kyoto, 25–29 giugno, 1992;
• (3) C∗–Algebren, Oberwolfach, 6–12 febbraio 1994;
• (4) The 15th International Conference on Operator Theory, Timisoara, 6–10 giugno 1994; • (5) Operator Algebras and Applications, Ginevra, 25–30 luglio 1994;
• (6) Dynamical systems and C∗-algebras, Waterloo, The Fields Institute, 26-30 ottobre 1994.
• (7) Operator Algebras and Applications seminar series, The Fields Institute, April 11, 1995
Jones Index for Infinite Factors and Endomorphisms of Cuntz Algebras
• (8) C∗–Algebras and their Invariants, Cork, 10–15 luglio 1995;
• (9) XV Congresso Nazionale dell’Unione Matematica Italiana, Padova, 11–15 settembre 1995;
• (10) Department of Mathematics, University of Odense, Operator Algebras seminar, 12 ottobre 1995, invito del Prof. U. Haagerup.
• (11) Department of Mathematics colloquium, Universita` di Copenhagen, novembre 1995, in- vito del Prof. G.K. Pedersen.
• (12) Department of Mathematics, Universita` di Trondheim, Operator Algebras seminar, 26 aprile-2 maggio, 1996, invito del Prof. Landstad.
• (13) C∗–Algebren, Oberwolfach, Germany, 8–13 aprile 1996;
• (14) Operator Algebras and Quantum Field Theory, Roma, 1–6 luglio 1996,
• (15) Aegean Conference on Operator Algebras and Applications, Atene, 18–28 Agosto 1996;
• (16) 3rd International Conference on Functional Analysis and Approximation Theory, Ac- quafredda di Maratea, 23–28 settembre 1996;
• (17) Von Neumann Algebras and Dynamical Systems, Nordfjordeid, 17–22 agosto 1997; • (18) C∗–Algebren, Oberwolfach, 1–7 febbraio 1998;
• (19) Department of Mathematics, University of Orleans, Operator Algebras seminar, aprile 1999, invito Prof. J. Renault.
• (20) C∗–algebras and tensor C∗–categories, Cortona, 29 agosto–4 settembre 1999, •(21)Universite ́ParisDiderot(ParisVII),InstitutdeMathm ́atiquesdeJussieu,Parigi,maggio
1999, invito Prof. Skandalis.
• (22) Simple C∗–algebras and Non-commutative C∗–dynamical systems, istituto MSRI di Berke- ley, 25–29 settembre 2000,
• (23) First AMS-UMI joint meeting, session ’Operator Algebras’, 12-16 giugno 2002, Pisa.
• (24) Mini-Workshop on Entropy in Operator Algebras, Los Angeles, 7–11 luglio 2002. https:
//www.math.ucla.edu/ ̃shlyakht/workshop.html
• (25) 32nd Annual Canadian Operator Symposium, Waterloo, 19-23 maggio 2004.
• (26) The 24th annual great plains Operator Theory symposium, College Station, Texas, 26-30
maggio 2004.
• (27) International Conference on Harmonic Analysis and Quantum Groups, 5-8 gennaio 2005, Cochin University of Science and Technology, Cochin, Kerala,
• (28) Operator Algebras and their connections to Mathematical Physics, 28 novembre–2 dice- mbre 2005, Settat, Marocco.
• (29) Recent advances in Operator algebras 8–11 dicembre 2006, in occasione dei 60 anni di Laszlo Zsido, Roma, dip di Matematica G. Castelnuovo,
• (30) Joint international meeting UMI-DMV 18–22 giugno 2007, Perugia, https://www. mat.uniroma2.it/ ̃mp/OA/activities/archive/2007UMIDMV/
• (31) Operator Algebraic Aspects of Quantum Groups 9-12 novembre 2008, Leuven
• (32) Non-commutative Harmonic Analysis, 16-22 agosto 2009, Bedlewo, http://www. math.uni.wroc.pl/analiza/bedlewo12/participants.html• (33) Noncommutative Geometry and Quantum Physics, 31 agosto-5 settembre 2009, Vietri sul mare, http://www.mat.uniroma2.it/09GENCO
• (34) Noncommutative geometry and quantum groups, 11-15 giugno 2012, Oslo.
• (35) Mathematics and Quantum Physics, Palazzo Corsini, Accademia dei Lincei, Roma 8-12
luglio 2013 & Center for Mathematics and Theoretical Physics, Roma.
• (36) Quantum Groups and Operator Algebras, Westfa ̈lische Wilhelms-Universita ̈t Mu ̈nster, 7-9 maggio 2014, Mu ̈nster
• (37) Advances in Noncommutative geometry, 20-24 aprile 2015, Universite ́ Paris Diderot, Pa- rigi.
• (38) Quantum Groups: geometry, representations and beyond, Oslo and Akershus University College of Applied Sciences, Oslo 9-13 maggio, 2016.
• (39) Operator Algebras and Quantum Field Theory. Dedicated to the memory of John E. Roberts, 27-29 giugno 2016 INFN-Laboratori Nazionali di Frascati.
• (40) Noncommutative Geometry and Applications Abdus Salam International Centre for The- oretical Physics, Trieste, 27 febbraio-3 marzo 2017.
• (41) Bayrischzell Workshop 2018 On Noncommutativity and Physics: Hopf algebras in Non- commutative Geometry, April 20-23, 2018
• (42) Joint Meeting of UMI-SIMAI-PTM Wroclaw (Poland), September 17-20, 2018, spa- cial session: Operator Theory and Operator Algebras http://umi-simai.ptm.org.pl/ program/sessions/
• (43) 43rd LQP ‘Foundations and Constructive Aspects of QFT’ First Italian Workshop of the LQP series February 20-22 , 2019.https://www.ggi.infn.it/showevent.pl?id= 315, title of talk: Weak Quasi-Hopf algebras and Conformal Field Theory, https://sites. google.com/view/43-lqp/programme-slides?authuser=0
• (44) Ohio State University, Summer research program on quantum symmetries June 3-14, 2019, research talk invited speaker. Title of talk: A weak quasi-Hopf algebra approach to unitary structures and equivalences in conformal field theory , https://people.math.osu.edu/ penneys.2/QS2019/QuantumSymmetries2019.html
• (45) Operator Algebras and Quantum Physics June 17-21, 2019 at the Simons Center for Ge- ometry and Physics. https://scgp.stonybrook.edu/archives/24359, Scientific committee: Stefan Hollands, Vaughan Jones, Gandalf Lechner, Roberto Longo. Title of Talk: Weak quasi-Hopf algebras, quantum groups, and conformal field theory, https://scgp. stonybrook.edu/archives/25181
• (46) Noncommutative manifolds and their symmetries, September 16 to September 20, 2019,
dedicated to the 60th birthday of Giovanni Landi. https://www.noncommutativegeometry. nl/meetings/gianni60/, https://www.noncommutativegeometry.nl/wp-content/ uploads/2019/06/poster_NCG2019_Scalea.pdf
• (47) Actions of Tensor Categories on C∗-algebras, at IPAM UCLA, in January 2021 https: //www.ipam.ucla.edu/programs/workshops/actions-of-tensor-categories-on-c-al ?tab=speaker-list https://mathinstitutes.org/videos?search=Claudia% 20Pinzari https://www.youtube.com/playlist?list=PLHyI3Fbmv0Se8Nc7OmZ647ZwQsL
• (48) Quantum groups and algebraic quantum field theory, IWOTA Lancaster UK 2021, 16-20 agosto 2021. Scientific committee: U. Franz, R. Hillier. (In early August 2021, the candidate was forced to cancel her invited talk at this conference due to severe problems encountered regarding the planned presentation of the main results of [31], that include, but are not limited to, a strong
opposition by her ex-coautor S. Carpi and Prof. Longo (Tor Vergata University) to those results which could not be resolved in due time, notwithstanding the candidate efforts. The following motivation was offered to Prof. U. Franz: ”For reasons that are not entirely clear, that may have to do with conflict of interest [...] our work has been subject to strong contrast from people that are not authors”. Moreover, a severe hacking to the candidate’s digital devices occurred including the period from July 31 to October 15, 2021, that damaged her intellectual property, and was subsequently reported to authorities. A penal procedure followed.)
• (49) Quantum Groups - Algebra, Analysis and Category Theory (hybrid meeting), Oberwol- fach, 12-18 settembre 2021, Scientific committee: Masaki Izumi, Kyoto Sergey Neshveyev, Oslo Dmitri Nikshych, Durham Adam Skalski, Warsaw.
• (50) Quantum group winter school in Oslo, Dec 6 - 10, 2021, Scientific committee: Sergey Neshveyev and Makoto Yamashita https://www.mn.uio.no/math/english/research/ groups/operator-algebras/events/conferences/ge-an-qg-2020/
• (51) Noncommutative harmonic analysis and quantum groups, September 11-16, 2022. Scien-
tific committee: Adam Skalski Jacek Krajczok Johan Konings, https://www.impan.pl/en/activities/banach- center/conferences/22-noncommutative Title of Talk: On a problem posed by Y.-Z. Huang about
a direct proof of Kazhdan-Lusztig-Finkelberg Theorem https://www.impan.pl/konferencje/ bcc/2022/22-noncommutative/bedlewo2022qgschedule.pdf
• (52) OAS Follow on: Operator Algebras: Subfactors and Applications scientific committee: David Evans Cardiff University Masaki Izumi Kyoto University Yoshiko Ogata University of Tokyo Sorin Popa University of California, Los Angeles. 26 June 2023 to 30 June 2023. ”This workshop is dedicated to the memory of Vaughan Jones who was one of the organisers of the 2017 programme.” https://www.newton.ac.uk/event/oasw05/ (the candidate urgently cancelled her trip a week before the conference started.)
• (53) Twinned Conference on C∗-Algebras and Tensor Categories, November 6 - 10, 2023, The Fields Institute. Scientific committee Committee Kristin Courtney - WWU Muenster Andre’ Henriques - University of Oxford Dave Penneys - The Ohio State University Emily Peters - Loyola University Chicago Aaron Tikuisis - University of Ottawa Stuart White - University of Oxford (Cancelled trip.)
7. Teaching experience
Basic courses
At ’Universita` di Tor Vergata, corso di Laurea in Matematica:
• Analisi Matematica I, esercitazioni (1991-92, 1992-93, 1993-94) • Analisi Matematica II, esercitazioni (1991-92, 1992-93, 1993-94)
At Universita` di Tor Vergata per il corso di Laurea in Fisica:
• Analisi Matematica I (1996-97)
At l’universita` di Tor Vergata per il corso di Laurea in Ingegneria:
• Analisi Matematica II (supplenza 1998-99)
At Universita` La Sapienza, corso di Laurea in Informatica e Tecnologie Informatiche: • Calcolo Differenziale (2001-02, 2002-03, 2003-04, 2004-05)
• Calcolo Integrale (2001-02, 2002-03, 2003-04, 2004-05)
• Analisi Matematica II (supplenza 2002-03)
Presso l’Universita` La Sapienza per il corso di Laurea in Fisica:• Derivate e Integrali e Complementi di Analisi Matematica I (2005-2006 e 2006-07)
• Funzioni di piu` variabili e Complementi di Analisi Matematica II (2005-2006 e 2006-07)
• Analisi (2008-09, 2013-14, 2014-15, 2019-20; 2020-21; 2021-22; 2022-23; 2023/24; 2024/25)
At Universita` La Sapienza, corso di Laurea in Biologia:
• Calcolo, Biostatistica e metodi matematici e informatici per la Biologia, Mod. Biostatistica II (2011-12)
At ’Universita` La Sapienza per i corsi di Laurea in Architettura: • Istituzioni di Matematica (2012-13, codocenza)
• Istituzioni di Matematica II (2016-17)
At Universita` La Sapienza, corso di Laurea in Biotecnologie:
• Calcolo e Biostatistica (2017-18; 2021-22)
At ’Universita` La Sapienza per i corsi di Laurea in Matematica:
• Analisi Matematica I (2012-13)
At ’Universita` La Sapienza per il corso di Laurea in Ingegneria Meccanica:
• Analisi Matematica I (2015-16)
At ’Universita` La Sapienza per i corsi di Laurea in Statistica Gestionale e Statistica Economia e Sicieta’:
• Matematica III corso (2023-24).
Master courses (corsi per Laurea Magistrale, ex-Specialistica, ex-Quadriennale)
At ’universita` di Tor Vergata per il corso di Laurea in Ingegneria:
• Metodi Matematici per l’Ingegneria (1997-98, codocenza)
At ’Universita` La Sapienza per i corsi di Laurea in Matematica:
• Analisi Funzionale (2007-08, 2009-10, 2011-12, 2013-14, 2015-16, 2017-18, 2020-21, 2022- 23, 2024/25)
• Variabile Complessa (2010-11; 2016-17; 2019-20)
PhD courses and INdAM course
• Le Algebre di Operatori nelle teorie quantistiche (2007, minicorso INdAM)
• Gruppi quantistici nelle Algebre di Operatori (2009-10, dottorato in Matematica, Sapienza) • Gruppi quantistici e altri argomenti (2010-11, dottorato in Matematica, Sapienza)
• Gruppi quantistici e categorie C∗-tensoriali (2014-15, dottorato in Matematica, Sapienza)
8. Direzione Tesi di Laurea Laurea Triennale in Matematica
• Alessandro Carderi: Gruppi quantistici nelle algebre di Operatori e polinomio di Jones, Laurea triennale 2008-2009; 110 e lode;
• Sergio Ciamprone: Prodotti incrociati di C∗-algebre: proprieta` e applicazioni, Laurea triennale 2009-2010; 110 e lode
• Valerio Proietti: Il problema del sottospazio invariante in spazi di Banach, 2012- 13, 110 e lode (proietti e‘ attualmente dottorando in Matematica presso l’Universita` di Copenhagen)
• Stefano D’Alesio: Dualita` di Pontrjagin e trasformata di Fourier su gruppi LCA, 2014-15, 110 e lode.Master degree in Mathematica (Laurea Specialistica/Magistrale in Matematica) and stu- dents career
• Alessandro Carderi: Costo per i gruppoidi discreti e misurabili, laurea specialistica 2010-11; 110 e lode (in collaborazione con il prof. Gaboriau) Carderi e` dottore di ricerca (ENS Lione in Geometria Noncommutativa direzione prof. Gaboriau). Attualmente ricopre una posizione di Post Dottorato presso Karlsruher Institut fu ̈r Technologie Fakulta ̈t fu ̈r Mathematik Institut fu ̈r Algebra und Geometrie https://www.math.kit.edu/user/carderi/.
• Giovanni Romano Gargarelli: I lavori di A. Wassermann sulle azioni ergodiche di SU(2) sulle algebre di operatori, Laurea specialistica 2009-2010; 110 e lode
• Luca Giorgetti: Azioni ergodiche di gruppi compatti su Algebre di Operatori, Laurea special- istica, 2011-12; 110 e lode. Giorgetti has a PhD in Theoretical Physics at Goettingen (Prof. H. Rehren), he currently has Marie-Curie fellowship and has enjoyed assegno di ricerca ‘Matemat- ica e sue applicazioni’ at dipartimento di Matematica Castelnuovo. Giorgetti copre una posizione di RTDA a Tor Vergata.
• Adriana Schiani: La dimensione dei gruppi quantistici compatti, Laurea specialistica 2011-12; 110. Schiani e` has been a PhD student in Mathematics Universita` Tor Vergata, in Algebre di Operatori (prof. R. Longo).
• Nicholas Cornia: Entropia dinamica di sistemi quantistici, Laurea magistrale in Matematica, 2012-13, 109. Cornia has a PhD in Informatics at Amsterdam.
• Matteo Cavaleri: Sottoalgebra radiale di L(Fn), Laurea Specialistica 2011-12; 110 e lode Cav- aleri attualmente e` Dottore di ricerca in Matematica a Roma, Universita` ‘La Sapienza’, Postdoc at IMAR, Bucarest.
• Sergio Ciamprone: C∗-algebre associate a categorie tensoriali e algebre di Cuntz, LMM, 2012- 13 110 e lode, (relatrice interna, relatore esterno: Prof. S. Doplicher). Ciamprone has a PhD in Matematics at Sapienza, he has an appointment at CNR, Potenza.
• Jacopo Bassi: The index of II1 subfactors, Laurea magistrale in Matematica, Roma Tre. 2012- 13, 110 e lode. Bassi has a PhD at SISSA Trieste, in Noncommutative Geometry (Prof. L. Dabrowski). Currently has a PostDoc (Assegno di Ricerca) position at Tor Vergata.
• Paola Zurlo: C∗-structure of certain weak Hopf algebras associated to simple Lie algebras, LMM 2016-17 110 e lode. Currently she is a PhD student in Bari.
• Lorenzo Panebianco: Vacuum sector in Conformal Field Theory: conformal nets and positive energy representations, LMM 2017-18 110 e lode, He is PhD in Mathematics at il dipartimento di Matematica Castelnuovo under supervision of Prof. Roberto Longo.
• Marco Valerio Giannone: Algebre di von Neumann e relazioni di equivalenza. Inclusioni di Cartan e questioni di coniugio, LMM 2017-18 110 e lode.
Direzione Tesi di Dottorato
• Stefano Rossi: Caratterizzazioni di spazi di Banach duali, dottorato in Matematica, La Sapienza, 2010 (in collaborazione con il prof. S. Doplicher). He has been a Post doc at l’Universita` di Tor Vergata, currently he has a RTDB position in Bari.
• Sergio Ciamprone: Certain braided weak Hopf C∗-algebras associated to modular categories. Defense il 24 febbraio 2017, XXIX ciclo. He has a position at CNR in Potenza in Informatics.
• Marco Valerio Giannone: Twisting quantum groups at the roots of unity, Thesis PhD Thesis Defended on March, 9th 2022. in Mathematics at dipartimento di Matematica Guido Castel- nuovo. Giannone won ”Bando ICE 16/2022 Prot. 1090 del 26/05/22 per il conferimento di 1 incarico di collaborazione esterna” on June 24, 2022, based of Fondi di Ateneo 2021.
9. Service for Dottorato in Matematica, Sapienza
• From December 2008 till 2018 I have been member of the PhD council in Mathematics at Sapienza.
• I have been tutor for the PhD students: Stefano Rossi XXII ciclo, Alessia Nota XXVI ciclo, Matteo Cavaleri XXVIII ciclo, Sergio Ciamprone, XXIX ciclo, Stefano Iovieno, XXX ciclo.
10. More Awards, Full Professorship offer
• In June 2007 I received a position offer of full W3-Professorship in Pure Mathematics (geom- etry/analysis) at Mathematisches Institut Georg-August-Universita ̈t Go ̈ttingen from Prof. Ralph Meyer.
http://www.uni-math.gwdg.de/stellenausschreibungen/w3nfbunkeen.html
• Since October 2010 I have been a member of the scientific committee of GDRE GREFI- GENCO. GDRE GREFI-GENCO is a Franco-Italian research grouping that unites French and Italian researchers working in the field of non-commutative geometry and operator algebras. The structure is financed by the CNRS and the Indam. These funds make it possible to orga- nize annual conferences, workshops and schools, as part of bilateral meetings between the two countries.
• I was awarded the ”Riconoscimento per Eccellente Insegnamento Universitario” Facolta‘ di Scienze MFN di Sapienza Universita‘ di Roma, in December 2015, II Edizione. https:// web.uniroma1.it/fac_smfn/riconoscimenti-eccellenza
11. Coordinamento di altre iniziative in campo scientifico o didattico
• 2018 February: Commission for research prof / assoc. prof position in operator algebras and quantum groups in Oslo, Oslo Metropolitan University.
• 2016, September: I participated, at the invitation of Prof. S. Neshveyev, in the final examination of a doctoral thesis of the University of Oslo, as chairman of the commission, for the defense of the doctoral thesis of Bas Jordans Random walks of discrete quantum groups and associated categories.
• I have been nominated as a member of three selection boards of PhD thesis in Mathematics, Sapienza, in the field of operator algebras (May 2002, April 2004, April 2005).
• I invited Dr. David Kerr, a postdoctoral student at Fields Toronto Institute for Research in Mathematical Sciences, as visiting professor at the Department of Mathematics of the Univer- sity of Rome La Sapienza for the academic year 2002/03 with the purpose of of a scientific collaboration in the field of quantum entropy and quantum variational principle.
• I invited Prof. Andrew Dean, from the University of Toronto as Visiting Professor at the Department of Mathematics, of the Univ. of Rome La Sapienza for the academic year 2003/04,
• I organized short visits of the following Italian and foreign teachers at the Department of Mathematics of the Univ. of Rome La Sapienza for scientific collaborations or seminars: Prof. Damien Gaboriau, Lyon (2009); Dr. Lucio S. Cirio, Luxembourg (2014), Prof. Lars Tuset, Oslo (2017).
• I invited Prof. Makoto Yamashita, from the University of Oslo as Visiting Professor at the Department of Mathematics, of the Univ. of Rome La Sapienza from November 13 to December 15, 2023. The following is the official report jointly signed referring to the visit.
Report on the visit by Prof. Makoto Yamashita at the Math Department G. Castelnuovo from Nov. 13 to Dec. 15, 2023
In 1993, Kazhdan and Wenzl classified the spherical tensor categories with the fusion rules of the Dynkin type A {5}. The classification tells that such categories are parametrized by two parameters. The first parameter q, which can be either generic or a root of unity, parametrizes the Drinfeld-Jimbo quantum groups Uq (slN ), and arises intrinsically from the structure of Heckealgebras in a remarkable way. The second parameter τ , which is an N-th root of unity, is related to the extension theory of tensor categories later formalized by Etingof, Nikshych, and Ostrik in their work on homotopy theoretic structure of tensor categories.
These categories are important because they emerge from an a priori different setting at the in- tersection of various fields related to Quantum Field Theory. To name a few: They give a promi- nent series of examples in Conformal Field Theory, where one deals with infinite-dimensional representations of infinite-dimensional structures in an algebraic and analytic setting, concretely realized by Vertex Operator Algebras or conformal nets of von Neumann algebras. The cate- gories at positive q are related to the theory of compact quantum groups through the Tannaka- Krein type duality principle due to Woronowicz {9}, and give rise to many examples of noncom- mutative homogeneous spaces in noncommutative geometry.
Ever since {5}, further studies have attempted to extend the Kazhdan-Wenzl classification to the other types. One prominent work is due to Tuba and Wenzl {7}, who looked at the braided categories with fusion rules of the Dynkin type B, C, and D, with different methods, but the subject is considered far from complete.
Recently, P. Grossman, S. Neshveyev, and M. Yamashita have advanced results by Tuba and Wenzl, but working in the setting of spherical tensor categories, and gave a similar classification for the BCD analogous to {5}. The proof is based on recent advances in the subfactor theory, and crucially uses a recent breakthrough on the structure of Lie type modular tensor categories by Schopieray {6} and Gannon {3}.
After this development, the outstanding problem is to settle the case for exceptional series, namely, the Dynkin types EN for N = 6, 7, 8, F4, and G2. Among them, the most challenging case is the E series, and this was the subject of our discussions during the visit by M. Yamashita. One of the reasons why we are interested in this subject is due to its close connection with the study of the associator in a braided tensor category with applications to affine vertex operator algebras at a positive integer level {1}.
Our starting point is a work by H. Wenzl {8}, that analyzes the centralizer algebras EndG(V ⊗n ) for a suitable representation V of the Lie algebra associated to EN , N ̸= 9. These centralizer algebras are shown to be generated by the R-matrices and one suitable additional element. The discussions have been very fruitful, and we plan to make them useful to achieve contributions in the above-mentioned problems.
References
{1} S. Ciamprone, M.V. Giannone, C. Pinzari, Weak quasi-Hopf algebras, C*-tensor cate- gories and con- formal field theory, and the Kazhdan-Lusztig-Finkelberg theorem, available at arXiv:2101.10016v7
{2} Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik, Fusion categories and homotopy the- ory, Quantum Topol. 1 (2010), no. 3, 209-273, With an appendix by Ehud Meir.
{3} Terry Gannon, Exotic quantum subgroups and extensions of affine Lie algebra VOAs -part I, preprint, 2023.
{4} P. Grossman, S. Neshveyev, M. Yamashita, in preparation.
{5} D. Kazhdan, H. Wenzl: Reconstructing monoidal categories, Adv. Soviet Math., 16 (1993), 111-135.
{6} Andrew Schopieray, Level bounds for exceptional quantum subgroups in rank two, Inter- nat. J. Math. 29 (2018), no. 5, 1850034, 33.
{7} I. Tuba, H. Wenzl: On braided tensor categories of type BCD, J. fur Reine Ang. Math., 581 (2005), 31-69.
{8}] H. Wenzl: On tensor categories of Lie type EN , N ̸= 9, Adv. Math. 177 (2003), 66-104.
{9} S. L. Woronowicz, Tannaka-Krein duality for compact matrix pseudogroups. Twisted SU(N) groups, Invent. Math. 93 (1988), no. 1, 35-76.• I was a member of the scientific committee of various international conferences in Operator Algebras, including:
- Recent Advances in Operator Algebras, tenutosi a Roma 8-11 novembre 2006,
- Mathematical Physics in Mathematics and in Physics, tenutasi a Siena, 20–25 giugno 2000, in occasione del sessantesimo compleanno di S. Doplicher e J.E. Roberts.
-Biennial conferences organized by GDRE GREFI-GENCO, from 2010.
• In October 2010 I joined the Study Plans and Degree Thesis Commission of the Bachelor’s Degree in Mathematics.
Remark: The above mentioned collaboration would be very useful to complete Project B. 12. Competition Commissions, referee for European research projects
•In October 2005 I was a member of the competition commission for the awarding of two prizes reserved for graduates in Mathematics offered by ‘IFUW-FILDIS’.
• I was elected member of the Competition Commission at n. 1 position as Researcher at the Fac- ulty of SCIENCES MM.FF.NN. , of the University of Rome Tor Vergata, scientific disciplinary sector MAT / 05 (Cod. 0961) Published sulla Gazzetta n. 98 del 29/12/06
• In 2008 I was a member of the commission for the awarding of three annual research grants offered by the Department of Mathematics G. Castelnuovo, University of Rome La Sapienza, entitled ‘Matematica e sue applicazioni’.
• In 2009 I was a member of the examining commission of the admission competition to the PhD in Mathematics, of the University of Rome La Sapienza.
• In July 2018 I received and accepted the invitation to evaluate, as referee, two scholarship ap- plications relating to the second cycle of the INdAM-DP-COFUND-2015 Doctoral programme, funded by the European Union.
• In July 2018 I received and accepted the invitation to evaluate, as a referee, a relevant Research Project international, within the European community.
• In July 2022 I have been a member of a Committee for Incarico di collaborazione esterna, Bando ICE 16/2022.
13. Funded Research Projects University Projects (Progetti di Ateneo)
• 2001: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2002: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2003: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2004: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2005: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi e Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2006 Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, anno finanziario 2006, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2007: Algebre di Operatori, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2008 Algebre di Operatori e Geometria non commutativa, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2009: Algebre di Operatori e Geometria non commutativa, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza. • 2010 Algebre di Operatori e Geometria non commutativa, Teoria Quantistica dei Campi ed Analisi Armonica, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` di Roma La Sapienza. • 2011: Algebre di Operatori, Geometria non commutativa e Teoria Quantistica dei Campi, responsabile scientifico Paolo Piazza, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2012: Algebre di Operatori, Geometria non commutativa e Gruppi Quantistici, responsabile scientifico Paolo Piazza, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2013: Algebre di Operatori, Geometria non Commutativa e Gruppi Quantistici, responsabile scientifico Paolo Piazza, Universita` di Roma La Sapienza.
• 2014: Algebre di Operatori, Geometria non Commutativa e Gruppi Quantistici, Universita` di Roma La Sapienza. Ho agito da Responsabile Scientifico.
• 2015: Algebre di Operatori, Geometria non Commutativa e Gruppi Quantistici, Universita` di Roma La Sapienza. Ho agito da Responsabile Scientifico.
For the following approved little (2016, 2017), medium projects (2018, 2019, 2020, and 2021), and big project (2023), I will report (in Italian, except for the last one, in English) a selection concerning only my contribution regarding two chapters of each project, that I coordinated with collaborators and in which I contributed extensively. To this aim, I have used resources available online in Sapienza University web site ”Sistema Gestione Bandi” since 2016. I do not have previous applications available, but these projects are continuations of previous ones since 2001 with PIs above specified.
Each of these chapters are in turn long-term projects, and I will refer to them in this curriculum as Project A and Project B, here below summarized. Both projects have roots in the compact quantum groups initiated by Woronowicz. Related publications and results are briefly described in the separate sections 17 and 18.
Project A: I proposed the study of noncommutative Hilbert fifth problem to define compact quantum Lie groups among compact quantum groups by their topological dimension, that needs to be introduced and studied, and connectivity properties of the quantum groups, thus in the global non-commutative setting of C∗-algebras. The project has involved L. S. Cirio, A. D’Andrea, C. Pinzari, and S. Rossi in combinations.
Remark on objectives reached in the following University Research Projects from 2016 to 2021 regarding Project A: Results have been published in [1], [3], [5]. Our contribution is based on a development and application in noncommutative geometry of my previous works with John E. Roberts [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]. Possible future extension to homogeneous spaces of compact quantum groups may involve [13], [17], [19], [20], [21], [23] also. Please refer to the the following projects and results further described in sections 17 and 18 for more information.
Project B: Includes the mathematical study of several problems centered on quantum groups: weak quasi-Hopf algebras by Drinfeld and physicists Mack and Schomerus and their homoge- neous spaces that need to be naturally constructed in fundamental models of Conformal Field Theories. We also propose of applying semisimple or discrete quantum groups to construct uni- tary structures in module categories of infinite dimensional affine Lie algebras or vertex operator algebras. The project includes the study of a conformal Doplicher-Roberts duality theorem for quantum groups as inner quantum group of symmetries, the construction of a Field Algebra in the setting of Algebraic Quantum Field Theory by Haag and Hastler, and a unification with a problem posed by H-Z. Huang on the conceptual understanding of the Finkelberg-Kazhdan- Lusztig theorem for the fundamental cases of quantum groups at certain roots of unity for all Lie types and affine Lie algebras or vertex operator algebras at positive integer levels for all Lie types. The project has involved S. Ciamprone, M.V. Giannone, C. Pinzari. As an ex-collaborator since 2018, S. Carpi exited the project in January 2023 after a long period of uncertainty startedin early 2020. Results have been published in [2], [31]. They are based, as non-trivial exten- sion to quantum groups at roots of unity, of previous work with collaborators in the setting of compact quantum groups already indicated in Project A, and start by unifying the theory of com- pact quantum groups due to Woronowicz with the non-semisimple theory of quantum groups at roots of unity by Drinfeld-Jimbo using unitary structures constructed by Wenzl for their fusion categories. The objective of this unification was included in several university projects prior to 2016. To the author, it is very important and interesting to develop an analogue of the theory of quantum homogeneous spaces based on C∗-algebras as already done in the setting of compact quantum groups in [10] and [7], but extended to the setting of quantum groups at roots of unity, to include the model of the Virasoro Algebra in CFT. This last project is included in the funded university research project 2023 (Progetto grande di Ateneo).
Remark on objectives reached in the following University Research Projects from 2016 to 2021 regarding Project B: Most of the objectives of the University Projects from 2016 to 2021 have been developed and reached in [31]. Please refer to the following projects, the sections 17, 18 and to the section including the report on the visiting by Prof. Yamashita in November 2023, for more information.
A collaboration mentioned below in the project of the year 2017 with Prof. Neshveyev and Tuset, who accepted, has been proposed by the candidate, and so far has not taken place. Being the project not complete, we plan collaborations on some final part to conclude the project, which now includes their collaborator Prof. M. Yamashita. Indeed, the final part has been discussed with Yamashita during his visiting in Rome in November 2023.
In addition, in 2021 I proposed another collaboration to Neshveyev and Tuset on extending their work on spectral triples (Dirac operators) for compact quantum groups in non commutative geometry to the weak Hopf algebras constructed in [31].
• 2016: I acted as Tutor for the research startup project (avvio alla ricerca): ‘Gruppi quantistici alle radici dell’unita’ e C∗-categorie tensoriali’, proposed by Sergio Ciamprone. Evaluation: 17/20. Funding 1000E
§Abstract Ciamprone 2016:
Obiettivo della mia ricerca (in collaborazione e sotto la supervisione della prof. Claudia Pin- zari) e` il seguente: a partire da una classe di categorie tensoriali che trova origine in teoria conforme e teoria algebrica dei campi, costruire un gruppoide quantistico la cui categoria di rap- presentazioni sia equivalente a quella data. L’idea e` di migliorare e di estendere la costruzione realizzata in un caso particolare dai fisici Mack e Schomerus all’inizio degli anni ’90. Le cat- egorie in questione sono quozienti di categorie di rappresentazioni di algebre inviluppanti di algebre di Lie, opportunamente quantizzate tramite un numero complesso radice pari dell’unita`. Il quozientare queste categorie e` dovuto alla necessita` fisica di eliminare quelle rappresentazioni che abbiano dimensione quantistica nulla. Nel primo articolo da noi pubblicato, e` stato appunto costruito un gruppoide quantistico la cui categoria di rappresentazioni fosse equivalente ad al- cune di queste categorie, precisamente quelle che si possono ottenere allorquando l’algebra di Lie in questione e` di tipo A (ovvero algebre di Lie sln). Tale risultato rappresenta nei fatti e nella metodologia un miglioramento considerevole rispetto a quello di Mack e Schomerus, dal mo- mento che i due avevano posto in essere tale costruzione solo nel caso n=2. Il progetto prevede i seguenti sviluppi: estendere tale costruzione ai tipi di Lie restanti; presentare tale gruppoide per generatori e relazioni nel caso di sl2; dal momento che il gruppoide ha una struttura inedita in letteratura, dare un’assiomatica chiara per tale oggetto.
§Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale Ciamprone 2016
La categoria delle rappresentazioni dell’algebra inviluppante di un’algebra di Lie, opportu- namente quantizzata per una radice pari dell’unita` q e successivamente quozientata altrettanto
opportunamente, ha acquisito nel tempo sempre maggiore interesse, per la sua capacita` di mod- ellizzare alcuni sistemi di superselezione in teorie conformi (piu` precisamente, il modello di WZW), ma anche per applicazioni nella classificazione di nodi e di varieta` tridimensionali. Cio` risulta chiaro dai lavori di Chari-Pressley, Reshetkhin-Turaev e dall’articolo di Dijkgraaf- Pasquier-Roche (e molti altri). Numerosi sono inoltre i matematici che negli anni hanno lavorato alla comprensione della struttura e delle proprieta` di tale categoria: Lusztig, Andersen, Kirillov, Wenzl, Xu. Al principio degli anni ’90 i due fisici tedeschi Mack e Schomerus si sono posti per primi il problema di tentare la ricostruzione di un oggetto di tipo gruppale a partire dalla cate- goria, in modo tale che la categoria delle rappresentazioni di tale oggetto fosse equivalente alla categoria quoziente. Il problema di ricercare un oggetto di tipo gruppo di questo tipo a partire da una categoria e` abbastanza tipico in questo ambito, a partire dal ben noto teorema di Tannaka- Krein fino al teorema di Doplicher-Roberts di fine anni ’80. L’oggetto ricostruito funge inoltre da gruppo ( o gruppoide) di simmetrie del sistema fisico modellizzato dalla categoria, come sp- iegato nel libro di Haag ’Local Quantum Physics’. L’approccio di Mack e Schomerus presentava pero` alcune lacune. Innanzitutto, essi hanno costruito il gruppoide quantistico solo nel caso dell’algebra di Lie sl2, sfruttando tutte le buone proprieta` del caso specifico (le rappresentazioni irriducibili di sl2 sono prive di molteplicita`). In tal modo il loro procedimento non si prestava ad essere esteso ai casi sln con n diverso da 2. In secondo luogo, i due non hanno provato che la categoria delle rappresentazioni fosse equivalente a quella data, seppure la costruzione lo lasciava presagire. L’oggetto che i due fisici hanno costruito, tuttavia, era piuttosto nuovo e interessante, dal momento che era una quasi algebra di Hopf debole. Pertanto, a partire da tale lavoro molti autori, tra cui Bohm, Nill e Szlachanyi, hanno posto l’accento su queste algebre. Hayashi, Ostrik e lo stesso Szlachanyi hanno poi messo in relazione tali algebre con le categorie, provando che ogni categoria modulare dotata di certe proprieta` e` la categoria di rappresentazioni di un oggetto di questo tipo. La ricostruzione che Hayashi pone in essere per categorie di questo tipo (di cui fanno parte anche le nostre categorie quozienti) non e` tuttavia soddisfacente quando viene ristretta alle categorie di cui trattiamo, dal momento che l’oggetto ricostruito e` non unico e non canonico, e non sembra avere alcun legame con l’algebra di Lie di partenza. Nel medesimo tempo, alla fine degli anni ’90, Wenzl provava l’esistenza di una struttura C∗ su tali categorie. Questo risultato ha consentito una maggiore comprensione della struttura presente in tali cate- gorie, e puo` essere ragionevolmente considerato come il punto di partenza della nostra ricerca.
§Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico, Ciamprone 2016
Come gia` indicato nell’abstract, il progetto di ricerca ha quattro obiettivi essenziali:
1) Ricostruire un gruppoide quantistico a partire dalla categoria quoziente per sln, generaliz- zando quanto fatto da Mack e Schomerus nel caso n=2;
2) Estendere il risultato ad algebre di Lie non di tipo A;
3) Scrivere nel caso di sl2 il gruppoide per generatori e relazioni;
4) Delineare la struttura e le caratteristiche del gruppoide ricostruito.
L’obiettivo 1) e` stato raggiunto. Chiariamo qui di seguito i passaggi che hanno consentito di
conseguirlo. Il lavoro di Wenzl consentiva una scelta canonica del troncamento del prodotto ten- soriale di una rappresentazione irriducibile con la rappresentazione fondamentale. Il sottospazio ottenuto dal troncamento e` uno spazio di Hilbert, modificando opportunamente la forma her- mitiana del prodotto grazie alla R-matrice. Questo fatto consentiva pertanto di definire un fun- tore dalla categoria quoziente alla categoria degli spazi di Hilbert. Nel nostro lavoro abbiamo percio` messo in atto una procedura Tannakiana di costruzione di una *-bialgebra D sfruttando l’esistenza di tale funtore. Il secondo passo e` stato poi quozientare l’oggetto ricostruito D per un coideale che potesse in qualche modo riflettere il quoziente operato sulla categoria. Essendo un coideale, l’oggetto C ottenuto e` solo una coalgebra. Per avere un prodotto su C, si e` provato come terzo passo la sua cosemisemplicita` nel caso di tipo A. Il prodotto su C a quel punto e` stato definito come pull-back del prodotto su D. La cosemisemplicita` ha consentito in secondo luogo di provare l’esistenza di un funzionale di Haar, e tramite quello la non trivialita` dell’oggetto. Il prodotto cos`ı ottenuto e` inoltre non associativo, e cio` riflette in qualche senso la non associa- tivita` del processo di troncamento. Passando pero` al duale, si ottiene il gruppoide quantistico che stavamo cercando. Esso e` infatti una C∗-quasi algebra di Hopf debole, con coprodotto non unitale, associatore di Drinfeld e R-matrice. Come e` evidente, la costruzione e` piuttosto gen- erale, e solo al momento di provare la semisemplicita` dell’oggetto va tipizzata al caso A. Questo fatto e` un segno della sua bonta`, e lascia ben sperare sulla sua estendibilita` agli altri casi.
Il punto 2) ancora non e` stato affrontato, ma appare chiaro, come detto al punto precedente, che la sola difficolta` sara` riuscire a provare che l’oggetto C e` cosemisemplice (o equivalentemente il suo duale semisemplice), senza mutarne la costruzione di fondo. Probabilmente sara` necessario per il raggiungimento di tale risultato un utilizzo massiccio della teoria di Lie, e quindi uno sguardo piu` profondo in questo senso. Da sottolineare che il caso E8 va a priori escluso perche ́ privo di alcune delle buone proprieta` che hanno consentito questa costruzione. Questo caso verra` pertanto evitato.
L’obiettivo 3) e` oggetto della mia ricerca attualmente. Cio` che certamente si riesce a provare e` che il gruppoide C e` generato da un’identita`, due elementi autoaggiunti e un elemento normale, e che le relazioni sono di due tipi: regole di commutazione, e relazioni su polinomi di grado N ( se q e` la radice 2N+2-sima dell’unita`). Compaiono pertanto solo relazioni di grado 2 e di grado N. Quest’ultime relazioni sono di tipo polinomiale, e la parte piu` complicata della loro scrittura consiste nel determinarne i coefficienti. In tal senso numerose questioni intervengono, come per esempio una conoscenza piuttosto profonda delle decomposizioni in irriducibili dei prodotti tensoriali della rappresentazione fondamentale. Secondariamente, emerge con chiarezza come fino al grado N l’algebra resti associativa, e che l’intervento dei troncamenti dal grado N in poi causa la perdita dell’associativita`.
A proposito dell’obiettivo 4), e` in dirittura di arrivo un lavoro realizzato dal sottoscritto e dalla prof. Claudia Pinzari, in cui cerchiamo di dare un assiomatica chiara e generale del grup- poide quantistico ricostruito. Vengono provate alcune proprieta` interessanti, tra cui, in primis, l’esistenza dei coniugati nella categoria delle rappresentazioni di tale oggetto (sotto opportune ipotesi da assegnare all’antipodo). Dato che inoltre l’oggetto in questione ha una struttura piu` debole rispetto ad una C∗-quasi algebra di Hopf classica, vengono mostrate alcune interessanti estensioni al nostro caso di risultati validi per tali algebre.
Remark: Objectives have been reached and also case E8 has been included, among other topics, in [31].
§Innovativita` della ricerca, e potenzialita` di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte, Ciamprone 2016
L’innovativita` della ricerca risiede essenzialmente nel procedimento attuato per ricostruire il gruppoide quantistico a partire dalla categoria in esame, oltre che nel gruppoide quantistico in se ́, che e` in sostanza nuovo in letteratura. Nessuno sinora aveva infatti posto la dovuta attenzione al risultato di Wenzl, intuendone i possibili sviluppi in tale direzione. Il suo lavoro infatti e` cio` che ha consentito di dare vita alla costruzione Tannakiana che abbiamo messo a punto nell’articolo pubblicato su arxiv. Ulteriori sviluppi a lungo termine di tali risultati sono possibili, e auspicabili. Per esempio, si potrebbe provare a generalizzare la costruzione effettuata a categorie modulari piu` generali di quelle considerate nell’articolo, sfruttando anche i recenti e interessanti lavori di Neshveyev e Yamashita. La costruzione effettuata nell’esempio concreto potrebbe indicarci la via da seguire nel caso generale, al fine di ottenere un significativo miglioramento del risultato di Hayashi di cui abbiamo parlato a proposito dell’inquadramento della ricerca.
• 2016: Algebre di Operatori, Geometria Noncommutativa e Gruppi Quantistici, responsabile scientifico Paolo Piazza, Universita` di Roma La Sapienza. Evaluation: 25/25 (Excellent). Fi- nanziamento richiesto e concesso: 5000E.
§ Abstract 2016
Le algebre di operatori non commutative costituiscono il tema portante di questo progetto di ricerca. Tutti i componenti di questo progetto di ricerca utilizzano le algebre di operatori con lo scopo di investigare problemi matematici e di fisica teorica di varia natura, fra i quali:
- (Progetto proposto dal Prof. Piazza)
- Project B struttura delle categorie C∗-tensoriali con braiding unitario e gruppi quantistici
- Project A geometria dei gruppi quantistici compatti di matrici e dei loro spazi omogenei non commutativi.
Il secondo e terzo punto traggono origine dalla formulazione algebrica della teoria dei campi quantistici di Haag e Kastler ’60 e dalla dualita’ astratta per gruppi compatti di Doplicher e Roberts ’90. Il fine di questo filone di ricerca e’ quello di descrivere il preduale delle categorie intrecciate C∗-tensoriali che emergono in modelli di spaziotempo in bassa dimensione e studi- arne gli aspetti analitici (Pinzari, Ciamprone) Altri argomenti di ricerca:
-(Altro progetto)
-Estensioni centrali di gruppi quantistici compatti (Pinzari)
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2016:
La Teoria delle Algebre di Operatori e’ un campo estremamente attivo della ricerca matemat- ica. Essa fornisce il tema unificante per i vari capitoli della ricerca proposta; come gia’ riportato nell’Abstract, questi capitoli possono essere riassunti come segue:
1) (progetto del prof. Piazza)
2) Project B dualita’ per categorie C∗-tensoriali e gruppi quantistici
3) Project A struttura analitica, topologica e geometrica dei gruppi quantistici compatti
2) La teoria della dualita’ per gruppi con strutture non commutative si inquadra nel problema generale di individuare quelle strutture matematiche che operano da preduale di una catego- ria C∗ tensoriale, che e‘ munita di simmetria del gruppo delle trecce. Tale problema intende generalizzare la caratterizzazione astratta dei duali dei gruppi compatti. Lo studio delle cate- gorie tensoriali C∗ e’ motivato dalla formulazione algebrica della teoria dei campi di Haag e Kastler degli anni 60 e di Doplicher, Haag e Roberts. I gruppi quantistici alle radici dell’unita’ forniscono esempi importanti di tali categorie, adatti nelle RCFT. I gruppi quantistici compatti forniscono categorie infinite, e hanno parte di struttura in comune con le richieste della teoria dei campi. Inoltre, i gruppi unitari di trecce possono solo raramente essere rappresentati nei gruppi quantistici compatti, e da un altro la teoria dell’indice di Jones fornisce rappresentazioni unitarie di essi su bimoduli di Hilbert a coefficienti algebre non commutative. Negli anni passati e’ stata ottenuta la costruzione del preduale della categoria tensoriale C∗ priva di simmetrie. In partico- lare, la costruzione ha seguito la scoperta di un teorema di caratterizzazione di azioni ergodiche di gruppi quantistici compatti da un punto di vista spettrale. E’ inoltre importante la relazione di tale costruzione con la teoria dell’indice di Jones. La scoperta di fenomeni di discontinuita’ con il caso classico. E‘stato esteso il teorema di Hoegh-Krohn, Landstad e Stormer ai gruppi quantistici compatti.
3) Questi risultati motivano lo studio di proprieta’ geometriche dei gruppi quantistici com- patti In particolare, hanno interesse l’analogo non commutativo della connessione, centro, sono state studiate in dettaglio le nozioni quantistiche i di connessione e di componente connessa [CDPR], si intende proseguire con la generalizzazione quantistica del risultato di Gromov sulla crescita polinomiale e nilpotenza, strettamente legata alla nozione di dimensione. Centri di ricerca nazionali e internazionali ove vengono studiati problemi relativi al secondo filone di ricerca sono, per esempio, Roma (Tor Vergata), USA (MSRI Berkeley, UCLA, university of Georgia), Poland (University of Warsaw), Trieste (Sissa), Oslo University.
§ Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2016
Project B Titolo Progetto: Categorie tensoriali C∗ con simmetrie unitarie del gruppo delle trecce. (Pinzari)
Nel lavoro Ciamprone-Pinzari arXiv:1506.02619, sono stati costruiti gruppoidi quantistici di tipo di Lie A associati a categorie modulari. Questa costruzione e‘ stata ottenuta mediante una estensione della teoria di dualita`‘ di Tannaka-Krein ad uno speciale funtore non associativo, dovuto a Wenzl. La prova della equivalenza tra la categoria di rappresentazioni e la data categoria modulare e‘ stata resa possibile da una accurata analisi della categoria dei moduli di tilting alle radici di 1 nel caso speciale del gruppo speciale unitario. Come obiettivo, ci si propone, in collaborazione con Sergio Ciamprone, di generalizzare la costruzione ai tipi di Lie BCD.
Project B Titolo Progetto: C∗-algebre di Hopf deboli quasi-associative. (Pinzari)
Si intende inoltre inserire i risultati del progetto precedente in un contesto teorico mediante la formulazione della nozione di algebre di Hopf C∗ deboli quasi coassociative, che estendono nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta. Lo scopo del lavoro e‘ quello di dare una spiegazione sistematica degli esempi precedentemente costruiti.
Questo e‘ un lavoro in collaborazione con Sergio Ciamprone.
Project A: Titolo Progetto: Struttura analitico-geometrica dei gruppi quantistici compatti. (Pin- zari)
Nel lavoro Cirio-D’Andrea-Pinzari-Rossi arXiv:1210.1421, pubblicato su Journal of Func- tional Analysis, e‘stata studiata in dettaglio la nozione di componente connessa di un gruppo quantistico compatto, e sono state date condizioni che implicano la sua normalita`‘ e la finitezza delle componenti connesse. Inoltre nel lavoro D’Andrea-Pinzari-Rossi arXiv:1602.07496 e‘ stata data la nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto e sono stati dati risultati di unicita‘ della norma C∗. Si intende proseguire il lavoro mediante lo studio della nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto in relazione ad una nozione di nilpotenza del gruppo quantistico discreto duale, che deve essere formulata.
§ Innovativita` della ricerca, e potenzialita` di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2016
Project B Progetto n. 4) Come menzionato nella sezione di inquadramento, l’approccio alge- brico alla teoria dei campi quantistici (Haag-Kastler, Doplicher-Haag-Roberts, Fredenhagen- Rehren-Schroer) porta alla costruzione di categorie tensoriali C∗ con simmetrie unitarie del gruppo delle trecce, e si cerca di costruire una struttura gruppale che agisca da gruppo di gauge di seconda specie. Le attuali proposte sono molto insoddisfacenti a questo fine, poiche ́ nel caso importante dei modelli di Wess-Zumino-Witten legate anche a lavori di Moore e Seiberg, 1989, nel limite del ‘livello’ non approssimano il gruppo di Lie di partenza. Il nostro gruppo, se di successo, avra‘ questa proprieta`‘ approssimante per il metodo con cui e‘ stato costruito. La potenzialita`‘ prevista e‘ quella di poter sviluppare la costruzione dell’algebra dei campi a par- tire da quella delle osservabili, in due o tre [edit del 2021: o perfino quattro] dimensioni dello spazio-tempo.
Project A Progetto n.5) e n. 6). La classe dei gruppi quantistici compatti e‘ estremamente ampia, essa contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi che sono stati scoperti da Wang, Van Daele, Banica negli ultimi decenni. Un problema molto studiato e‘ quello di studiare proprieta`‘ geometriche di essi, ad esempio terne spettrali di Connes, selezionando classi per le quali la teoria classica si estende. A tal fine, e‘ importante studiare l’analogo quantistico del quinto problema di Hilbert, che afferma che un gruppo di Lie e‘ determinato tra i gruppi topologici dalla sua dimensione e proprieta` di connessione. I progetti proposti si riferiscono ad uno studio della dimensione topologica, la cui nozione e‘ stata introdotta nei nostri lavori citati. I progetti hanno la potenzialita‘ di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l’uso delle categorie tensoriali.
• 2017: Algebre di Operatori, Geometria Noncommutativa e Gruppi Quantistici, Universita` di Roma La Sapienza. Ho agito da Responsabile scientifico. Evaluation: 25/25 (Excellent). Fi- nanziamento richiesto e concesso: 4000E.
§Abstract 2017:
Le algebre di operatori non commutative costituiscono il tema portante di questo progetto di ricerca. Tutti i componenti di questo progetto di ricerca utilizzano le algebre di operatori con lo scopo di investigare problemi matematici e di fisica teorica di varia natura, fra i quali: -gruppoidi quantistici in ambito C∗ rilevanti per le categorie dei modelli di Wess-Zumino-Witten - (progetto Prof. Piazza)
Il primo punto trae origine dalla formulazione algebrica della teoria dei campi quantistici di Doplicher-Haag-Roberts (DHR), e dalla dualita’ astratta per gruppi compatti di Doplicher e Roberts ’90. I modelli WZW sono modelli importanti nella CFT studiati indipendentemente nel contesto dei net conformi alla DHR e delle algebre di vertice, un contesto puramente algebrico sviluppato da Huang e Lepowski. Il fine di questo filone di ricerca e’ di affrontare il difficile problema aperto del confronto tra questi due approcci coinvolgendo anche altri esperti nella fisica teorica, Prof. Sebastiano Carpi, e teoria di Lie (Pinzari, Ciamprone)
Altri argomenti di ricerca:
- Studio della dimensione topologica dei gruppi quantistici compatti (Pinzari) - (Progetto Prof. Kowalzig)
- (Progetto Dott. Iovieno).
§Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2017
La Teoria delle Algebre di Operatori e’ un campo estremamente attivo della ricerca matemat- ica. Essa fornisce il tema unificante per i vari capitoli della ricerca proposta; come gia’ riportato nell’Abstract, questi capitoli possono essere riassunti come segue:
Project B 1) studio delle categorie tensoriali associate ai modelli di Wess-Zumino-Witten nelle teorie di campo conforme (CFT)
Project A 2) struttura analitica, topologica e geometrica dei gruppi quantistici compatti e dimen- sione.
3) (progetto Prof. Piazza)
1) Lo studio delle categorie tensoriali C∗ intrecciate e’ motivato dalla formulazione alge- brica della teoria dei campi di Doplicher, Haag e Roberts (1970). I gruppi quantistici alle radici dell’unita’ forniscono esempi importanti di tali categorie, mediante la costruzione di Gelfand e Kazhdan degli anni 90. Queste categorie sono note emergere nei modelli di WZW in fisica teorica, e precisamente nella CFT nell’ambito delle algebre di Lie affini (VOA), grazie a im- ponenti lavori di Kazhdan-Lusztig, Finkelberg, Huang-Lepowski. Una descrizione parallela e motivata fisicamente analoga al contesto DHR nell’ambito delle algebre di operatori e‘ stata in- trodotta da Wassermann (1990). Si conoscono collegamenti tra le due teorie sono nel caso del gruppo SU(2), per ogni valore del livello, e in pochi altri casi particolari, e comunque solo a livello di regole di fusione, e non di categorie. La realizzazione di una equivalenza tra i due contesti, sebbene attesa, e‘ un difficile problema aperto degli ultimi decenni. Negli anni pas- sati e’ stata ottenuta la costruzione del preduale della categoria tensoriale C∗ priva di simmetrie (Pinzari-Roberts). Successivamente la categoria di Gelfand-Kazhdan e‘ stata studiata nei lavori di Ciamprone-Pinzari, ed ha portato alla complessa costruzione di gruppoidi quantistici C∗ nel caso di SU(N) per ogni radice pari di 1. La ricerca si propone di trovare applicazioni nel prob- lema di equivalenza menzionato, e di fornire una semplicazione della teoria di Kazhdan-Lusztig. Questi argomenti hanno un ampio interesse nei diversi ambiti delle algebre di operatori, teorie conformi dei campi quantistici, algebre di Lie affini, gruppi quantistici.
2) Questi risultati motivano lo studio di proprieta’ geometriche dei gruppi quantistici com- patti In particolare, hanno interesse l’analogo non commutativo della connessione, centro, sono state studiate in dettaglio le nozioni quantistiche i di connessione e di componente connessa [CDPR], si intende proseguire con la generalizzazione quantistica del risultato di Gromov sulla crescita polinomiale e nilpotenza, strettamente legata alla nozione di dimensione. Centri di ricerca nazionali e internazionali ove vengono studiati problemi relativi al secondo filone di
ricerca sono, per esempio, Roma (Tor Vergata), USA (MSRI Berkeley, UCLA, university of Georgia), Poland (University of Warsaw), Trieste (Sissa), Oslo University.
§Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2017
Project B 1) Categorie tensoriali nei modelli Wess-Zumino-Witten (Pinzari)
Nel lavoro Ciamprone-Pinzari del 2015 sono stati costruiti gruppoidi quantistici in ambito C∗ alle radici di 1associati a categorie modulari. Questa costruzione e‘ stata ottenuta mediante una estensione della teoria di dualita`‘ di Tannaka-Krein ad uno speciale funtore dovuto a Wenzl nel caso speciale del gruppo speciale unitario. Come obiettivo, ci si propone, a) in coll. con S. Ciamprone, di studiare l’ estensione ai tipi di Lie BCD, b) incoll. con S. Carpi (Pescara) di studiare applicazioni al problema dell’equivalenza menzionato in inquadramento c) in coll. con Neshveyev-Tuset (Oslo) di semplificare la teoria di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg.
Project B 2) C∗-algebre di Hopf deboli (Pinzari)
Si intende inoltre inserire i risultati del progetto precedente in un contesto teorico mediante la
formulazione della nozione di algebre di Hopf C∗ deboli, che estendano nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta. Lo scopo del lavoro e‘ quello di dare una spiegazione sistematica degli esempi precedentemente costruiti. Questo e‘ un lavoro in collaborazione con Sergio Ciamprone.
Project A 3) Struttura analitico-geometrica dei gruppi quantistici compatti, nilpotenza e crescita polinomiale (Pinzari)
Nel lavoro Cirio-D’Andrea-Pinzari-Rossi, pubblicato su Journal of Functional Analysis nel 2014, e‘stata studiata la nozione di componente connessa di un gruppo quantistico compatto, e sono state date condizioni che implicano la sua normalita` e la finitezza delle componenti con- nesse. Nel lavoro D’Andrea-Pinzari-Rossi 2016 e‘ stata data la nozione di dimensione topo- logica di un gruppo quantistico compatto e sono stati dati risultati di unicita‘ della norma C∗. Si intende proseguire il lavoro mediante lo studio della nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto in relazione ad una nozione di nilpotenza del duale. Si intende perseguire la direzione analitica di Losert per una estensione del teorema di Gromov.
§Innovativita` della ricerca, e potenzialita` di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2017
Project B Progetto n. 1) e n. 2) Lo scopo innovativo e‘ duplice: Come menzionato nella sezione di inquadramento, l’approccio algebrico alla teoria dei campi quantistici e CFT (Haag-Kastler, Doplicher-Haag-Roberts, Fredenhagen-Rehren-Schroer, Wassermann) porta alla costruzione di categorie tensoriali C∗ con simmetrie unitarie del gruppo delle trecce, e si cerca di costruire una struttura gruppale che agisca da gruppo di gauge di seconda specie. Le attuali proposte sono insoddisfacenti a questo fine, poiche ́ nel caso importante dei modelli di Wess-Zumino-Witten dovuti a Moore e Seiberg (nella discussione sulla struttura di categoria tensoriale intrecciata, nel contesto fisico), 1989, per grandi valori del ‘livello’, esse non approssimano il gruppo di Lie di partenza. Il nostro gruppo, se di successo anche per i tipi BCD, avra‘ questa proprieta‘ ap- prossimante per il metodo con cui e‘ stato costruito. La potenzialita` prevista e‘ quella di poter sviluppare la costruzione dell’algebra dei campi a partire da quella delle osservabili, in due o tre dimensioni dello spazio-tempo. Il secondo scopo del nostro approccio e‘ di chiarire e con- tribuire al problema di equivalenza tra le due categorie della CFT (VOA e net conformi) mediante l’avanzamento dello studio del funtore di Wenzl per SU(N), alla luce del lavoro Ciamprone- Pinzari che ne ha svelato nuovi aspetti tensoriali mai emersi prima sin dalla sua introduzione, nel 1998.
Project A Progetto n. 3). La classe dei gruppi quantistici compatti e‘ estremamente ampia, essa contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi che sono stati scoperti da Wang, Van Daele, Banica negli ultimi decenni. Un problema molto studiato e‘ quello di studiare propriet geometriche di essi, ad es- empio terne spettrali di Connes, selezionando classi per le quali la teoria classica si estende. A tal fine, e‘ importante studiare l’analogo quantistico del quinto problema di Hilbert, che afferma che un gruppo di Lie e‘ determinato tra i gruppi topologici dalla sua dimensione e proprieta` di connessione. Il progetto n.2 riferisce ad uno studio della dimensione topologica, la cui nozione e‘ stata introdotta nei nostri lavori citati. Esso ha la potenzialita‘ di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l’uso delle categorie tensoriali.
• 2018: Analisi e geometria non commutative con applicazioni quantistiche, probabilistiche e alla teoria dei numeri, responsabile scientifico Fabio Scarabotti, Universita` di Roma La Sapienza, progetto medio. Valutazione: Chiarezza e realizzabilita’ obiettivi: Eccellente. Congruita’ del budget: ottimo. Conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico etc: ottimo. Esperienza e au- torevolezza scientifica del coordinatore nel settore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni censite in IRIS, valutate secondo parametri internazionali etc: Eccellente. Esperienza e autorev- olezza scientifica del gruppo di ricerca nel settore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni censite in IRIS, valutate secondo parametri internazionali comunemente accettati e ove possibile tramite impact factor, H index, numero di citazioni: ottimo. Finanziamento: 12.000E.
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2018
Per il progetto B, riporto il progetto originale gia’ proposto ed accettato dai collaboratori (S. Carpi, S. Ciamprone). In parentesi quadre parti originali del progetto che sono state tagliate nella domanda in fase di redazione per mera mancanza di spazio.
Project B [Questi argomenti hanno un ampio interesse in ambiti interdisciplinari tra algebre di operatori, teorie conformi dei campi quantistici, algebre di Lie affini, gruppi quantistici. ] Lo studio delle categorie tensoriali C∗ intrecciate e‘ motivato dalla formulazione algebrica della teoria dei campi di Doplicher, Haag e Roberts (1970). I gruppi quantistici alle radici dell’unita’ forniscono esempi importanti di tali categorie. Essi sono in relazione con le teorie di campo conforme nell’ambito delle algebre di Lie affini, grazie a imponenti lavori di Kazhdan-Lusztig, Finkelberg, Huang-Lepowski. [Una descrizione nel contesto dei net conformi nel senso DHR, e Gabbiani-Froelich, e’ stata introdotta da Wassermann (1990). La realizzazione di una equiv- alenza tra i due contesti, in un contesto generale, sebbene attesa, e’ un difficile problema aperto degli ultimi decenni, cosi’ pure lo studio di questioni di unitarizzabilita’. La categoria di Gelfand- Kazhdan e’ stata studiata nel lavoro [2] ed ha portato alla costruzione di un gruppoide quantistico C∗ nel caso di SU(N) per ogni radice pari di 1.]
Project A [ Dimensione topologica (D’Andrea, Pinzari, Rossi) In [5] sono state studiate in dettaglio le nozioni quantistiche di connessione e di componente connessa.] Si intende pros- eguire con la generalizzazione quantistica del risultato di Gromov sulla crescita polinomiale e nilpotenza, strettamente legata alla nozione di dimensione.
§ Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2018:
Project B Nell’ambito dei gruppi quantistici e delle teorie di campo conforme, ci si propone come obiettivi: [a) in coll. con S. Ciamprone, di studiare l’estensione ai tipi di Lie BCD, b) in coll. con S. Ciamprone e S. Carpi (Chieti-Pescara) di studiare la possibilita’ di costruire] strutture unitarie su categorie tensoriali associate ad algebre di vertice descritte da algebre di Lie affini, di studiare il problema dell’equivalenza tra le categorie tensoriali associate ai gruppi quantistici alle radici dell’unita‘ nel tipo A ed i net conformi dello stesso tipo nel senso di Wasser- mann, Kawahigashi-Longo-Mueger. Si intende inoltre inserire i risultati in un contesto teorico mediante la formulazione della nozione di algebre di Hopf C∗-deboli, che estendano nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta‘.
Project A [ B) Nel lavoro [5], pubblicato su Journal of Functional Analysis nel 2014, e’ stata studiata la nozione di componente connessa di un gruppo quantistico compatto, e sono state date
condizioni che implicano la sua normalita’ e la finitezza delle componenti connesse. Nel lavoro [3] e’ stata data la nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto e sono stati dati risultati di unicita’ della norma C∗. ]. Intendiamo inoltre proseguire le ricerche sulla dimensione topologica mediante lo studio della nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto in relazione ad una nozione di nilpotenza del duale. Si intende perseguire la direzione analitica di Losert per una estensione del teorema di Gromov.
§ Descrizione delle attivita` e dei compiti dei partecipanti 2018:
Project B Pinzari: Studio di algebre quasi Hopf deboli, di algebre w-Hopf deboli, costruzione dell’equivalenza tensoriale tra le categorie associate ai gruppi quantistici alle radici di 1 di tipo A e la categoria associata al corrispondente net conforme; Costruzione di strutture unitarie in astratto e in concreto in categorie associate a classi di algebre di vertice, costruzione di altri esempi di algebre w-Hopf associate a diverse funzioni di dimensione debole, classificazione delle algebre w-Hopf associate alla categoria del net conforme di tipo A con dimensioni deboli classiche.
§ Innovativita‘ della ricerca, e potenzialita‘ di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2018:
Project B Studio delle teorie di campo conforme, nell’approccio algebrico, dove un ruolo fon- damentale e‘ associato all’algebra di Zhu [, che ne detiene gran parte della struttura. Attraverso l’introduzione dell’aspetto fornito dai gruppi quantistici, ci si propone di arricchire l’algebra di Zhu con un elemento ulteriore di importanza, la struttura di un coprodotto, che, se costruito in modo naturale, ha la potenzialita’ di fornire una notevole semplificazione della descrizione della struttura tensoriale.]
Project A Studio della classe dei gruppi quantistici compatti che contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi che sono stati scoperti da Wang, Van Daele, Banica negli ultimi decenni. Un problema importante e’ quello di studiare proprieta‘ geometriche di essi, ad esempio terne spettrali di Connes, selezio- nando classi per le quali la teoria classica si estende. [A tal fine, e’ importante studiare l’analogo quantistico del quinto problema di Hilbert, che afferma che un gruppo di Lie e’ determinato tra i gruppi topologici dalla sua dimensione e proprieta’ di connessione.] Il progetto ha la poten- zialita’ di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l’uso delle categorie tensoriali.
• 2019: Algebre di operatori, geometria noncommutativa, gruppi quantistici e applicazioni alla teoria quantistica dei campi, la combinatoria e la teoria dei numeri, responsabile scientifico Conti Roberto, Universita` di Roma La Sapienza, progetto medio. Valutazione: Validita` scientifica degli obiettivi proposti: Eccellente. Congruita’ del budget: eccellente. Conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico, impianto metodologico, innovativita’ della ricerca: eccellente. Es- perienza e autorevolezza scientifica del coordinatore nel settore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni censite in IRIS, valutate secondo i parametri previsti per ASN:Eccellente. Espe- rienza, autorevolezza e adeguatezza del gruppo di ricerca nel settore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni, valutate secondo i parametri previsti per ASN, con riferimento alla numerosita` del gruppo; eccellente. Chiarezza degli obiettivi e realizzabilita` del progetto anche alla luce degli impegni temporali assunti dal proponente su altri progetti in corso: Eccellente. Finanziamento: 15.000E.
§ Abstract 2019:
Project B Nell’ambito dello studio di Gruppi quantistici e teorie di campo conforme si vuole sviluppare una teoria di algebre quasi Hopf deboli per lo studio di questioni che emergono nelle principali teorie di campo conforme quali l’unitarizzabilita‘ oppure l’equivalenza categoriale di strutture tensoriali.
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2019:
Project B Lo studio delle categorie tensoriali C∗ intrecciate e‘ motivato dalla formulazione al- gebrica della teoria dei campi di Doplicher, Haag e Roberts. I gruppi quantistici alle radici dell’unita’ forniscono esempi importanti di tali categorie. Essi sono candidati per descrivere le simmetrie delle teorie di campo conforme nell’ambito delle algebre di Lie affini, grazie a impo- nenti lavori di Kazhdan-Lusztig, Finkelberg, Huang-Lepowski.
Project A Una seconda linea di ricerca e‘ la generalizzazione quantistica del risultato di Gromov sulla crescita polinomiale e nilpotenza, strettamente legata alla nozione di dimensione.
§ Innovativita‘ della ricerca, e potenzialita‘ di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2019:
Project B Studio delle teorie di campo conforme, nell’approccio algebrico, dove un ruolo fon- damentale e‘ associato all’algebra di Zhu.
Project A Studio della classe dei gruppi quantistici compatti che contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi. Un problema importante e‘ quello di studiare proprieta‘ geometriche di essi, ad esempio terne spet- trali di Connes, selezionando classi per le quali la teoria classica si estende. Il progetto ha la potenzialita‘ di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l’uso delle categorie tensoriali.
§ Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2019:
Project B Nell’ambito dei gruppi quantistici e delle teorie di campo conforme, ci si propone come obiettivo quello di costruire strutture unitarie su categorie tensoriali associate ad algebre di vertice descritte da algebre di Lie affini, di studiare il problema dell’equivalenza tra le categorie tensoriali associate ai gruppi quantistici alle radici dell’unita‘ nel tipo A ed i net conformi dello stesso tipo nel senso di Wassermann, Kawahigashi-Longo-Mueger. Si intende inoltre inserire i risultati in un contesto teorico mediante la formulazione dellanozione di algebre di Hopf C∗- deboli, che estendano nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta‘.
Project A Indendiamo inoltre proseguire le ricerche sulla dimensione topologica mediante lo studio della nozione di dimensione topologica di un gruppo quantistico compatto in relazione ad una nozione di nilpotenza del duale. Si intende perseguire la direzione analitica di Losert per una estensione del teorema di Gromov.
§ Descrizione delle attivita` e dei compiti dei partecipanti 2019:
Project B Pinzari: Studio di algebre quasi Hopf deboli, di algebre w-Hopf deboli, costruzione dell’equivalenza tensoriale tra le categorie associate ai gruppi quantistici alle radici di 1 di tipo A e la categoria associata al corrispondente net conforme; Costruzione di strutture unitarie in astratto e in concreto in categorie associate a classi di algebre di vertice, costruzione di altri esempi di algebre w-Hopf associate a diverse funzioni di dimensione debole, classificazione delle algebre w-Hopf associate alla categoria del net conforme di tipo A con dimensioni deboli classiche.
• 2020 Algebre di operatori, geometria noncommutativa, gruppi quantistici e applicazioni alla teoria quantistica dei campi, la combinatoria e la teoria dei numeri, responsabile scientifico Roberto Conti, Universita` di Roma La Sapienza, progetto medio. Finanziamento: 10.000E.
Il dott. M.V. Giannone partecipa come dottorando nel progetto B.
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2020:
Project B Lo studio di categorie tensoriali C∗ intrecciate e‘ motivato dalla formulazione alge- brica della teoria dei campi di Doplicher, Haag e Roberts. I gruppi quantistici alle radici di 1 forniscono esempi importanti di tali categorie. Essi sono in relazione con le teorie di campo conformi nell’ambito delle algebre di Lie affini, algebre di vertice, grazie a imponenti lavori di Kazhdan-Lusztig, Finkelberg, Huang-Lepowski.

Project A Studieremo la crescita polinomiale per gruppi quantistici discreti (Gromov).
§ Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2020 (la parte preponderante del progetto complessivo del 2020 e del successivo 2021):
Project B Nell’ambito dei gruppi quantistici e delle teorie di campo conforme, ci si propone come obiettivo quello di costruire strutture unitarie su categorie tensoriali che vengono descritte nelle teorie di campo conforme della fisica teorica quantistica. In particolare, nell’ambito delle algebre di vertice descritte da algebre di Lie affini. Inoltre ci si propone di studiare problemi di equivalenza di teorie di rappresentazioni che vengono dai tre ambiti interdisciplinari dei gruppi quantistici, algebre di vertice, conformal net. Spieghiamo nei prossimi capoversi piu‘ in dettaglio questo capitolo della nostra ricerca. Parte dei problemi posti sono in via di scrittura in un lungo lavoro che attualmente ha circa 150 pagine in collaborazione con il Prof. Sebastiano Carpi (Universita‘ di Tor Vergata) e il dott. Sergio Ciamprone, parte sono problemi aperti per il futuro.
Un noto problema aperto in questo ambito e‘ quello di studiare in astratto l’esistenza e unicita‘ di strutture unitarie per categorie tensoriali semisemplici. Abbiamo risultati in corso di scrittura che risolvono questo problema in generalita‘ attraverso l’introduzione della nozione di algebra weak quasi-Hopf debole introdotta da Mack e Schomerus. Abbiamo intrapreso uno studio sis- tematico di queste algebre per la prima volta che estende il contesto dei gruppi quantistici, ed abbiamo introdotto una nozione di struttura unitaria in queste algebre che permette di inserire in un contesto semisemplice rappresentazioni unitarie del gruppo delle trecce. Inoltre dimostriamo che per categorie semisemplici tensoriali con un numero finito oppure infinito di elementi sem- plici abbiamo sempre algebre di questo tipo che le descrivono. Questi risultati sono stati ottenuti attraverso la costruzione delle cosi‘ dette funzioni di dimensione debole a valori interi definite sull’anello di Grothendieck.
Da queste costruzione otteniamo che una categoria semisemplice tensoriale linearmente equiv- alente a una tensoriale puo‘ essere resa in un unico modo una categoria unitaria tensoriale e che due categorie unitarie tensoriali tensorialmente equivalenti sono anche anche unitariamente ten- sorialmente equivalenti. Questi risultati trovano applicazione in particolare in categorie associate a CFT razionali.
Un altro problema in questo ambito di cui ci proponiamo lo studio e‘ quello dell’equivalenza tra le categorie tensoriali con simmetrie del gruppo delle trecce associate ai gruppi quantistici alle radici dell’unita‘ , i net conformi dello stesso tipo nel senso di Wassermann, Kawahigashi- Longo-Mueger, e le algebre di vertice affine.
La teoria di Finkelberg-Kazhdan-Lusztig stabilisce una equivalenza tra categorie associate di fusione intrecciate ribbon di gruppi quantistici a radici dell’unita‘ e algebre di vertice affine, ed e‘ stata formulata alla fine degli anni 90 in una serie di lavori complessi probabilmente tra la let- tartura piu‘ bella nell’ambito interdisciplinare tra gruppi quantistici e teorie di campo conforme.
Si intende inserire i risultati in un contesto teorico mediante la formulazione della nozione di algebre di Hopf C∗-deboli, che estendano nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta‘.
Abbiamo risultati in corso di scrittura che risolvono questo problema per il tipo di Lie A, e che sono di natura classificatoria, per tutte le categorie con date regole di fusione, delle di Verlinde, e un isomorfismo tra gli anelli di Grothendieck associati che conservano la cosi‘ detta struttura ribbon.
Abbiamo risultati parziali per gli altri tipi di Lie.
Ci proponiamo di costruire algebre di Hopf deboli associate alle categorie quoziente semisem- plici dei gruppi quantistici dell’unita‘ per tutti i tipi di Lie.
Abbiamo vari problemi aperti per il futuro, risultati classificatori dal tipi di Lie A ai tipi di Lie diversi da A. Un altro tema estremamente interessante si propone di cercare una costruzione diretta di algebre di Hopf deboli a partire da categorie di V-moduli di algebre di vertice affine e funtore di energia minima sull’algebra di Zhu.

Questo tema e‘ aperto da vari decenni ed e‘ per noi importante come metodo per cercare una dimostrazione diretta possibilmente semplificata dell’equivalenza ribbon di Kazhdan-Lusztig- Finkelberg che sia indipendente da questa teoria come proposto da Huang.
Innovativita‘ della ricerca, e potenzialita‘ di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2020
Studio delle teorie di campo conforme, nell’approccio algebrico, dove un ruolo innovativo e‘ associato all’algebra di Zhu, potenzialmente utile per trovare una dimostrazione diretta della teo- ria di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg di collegamento tra categorie di rappresentazioni semisem- plici tra gruppi quantistici alle radici di 1 e di algebre di vertice affine e alla sua struttura wqh che stiamo introducendo. Un ruolo innovativo e‘ l’uso della nozione di dimensione debole per il problema dell’esistenza e unicita‘ delle strutture unitarie su categorie tensoriali semisemplici.
Project A Studio dei gruppi quantistici compatti, e.g. tutti i gruppi di Lie classici, duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi liberi, deformazioni quantistiche che potenzialmente estende ai gruppi quantistici discreti il teorema di Gromov sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti e la dimensione topologica.
§ Descrizione delle attivita` e dei compiti dei partecipanti 2020:
Project B Pinzari: Studio di algebre quasi Hopf deboli di Mack-Schomerus, di algebre w-Hopf , costruzione dell’equivalenza tensoriale tra le categorie associate ai gruppi quantistici alle radici di 1 di tipo A e la categoria associata al corrispondente net conforme; Costruzione di strutture unitarie in astratto e in concreto in categorie associate a classi di algebre di vertice, o in categorie astratte semisemplici anche con infiniti oggetti semplici, costruzione di esempi di algebre w- Hopf associate a diverse funzioni di dimensione debole, classificazione delle algebre w-Hopf associate alla categoria del net conforme di tipo A con dimensioni deboli classiche, teoria di Finkelberg-Kazhdan-Lusztig mediante l’uso delle algebre w-Hopf.
Project B Giannone: Un gruppo quantistico compatto puo‘ essere visto come una categoria ten- soriale C∗ rigida C munita di un funtore tensoriale fibra F. Il problema analizzato da Neshveyev e Yamashita nel 2016 e‘ la classificazione delle coppie (C,F ) tali che le regole di fusione siano come per Rep(G), ove G e‘ un dato gruppo di Lie compatto semplicemente connesso, e le di- mensioni associate a ciascun oggetto tramite il funtore F coincidano con quelle classiche. I loro risultati si basano su quelli di Kazhdan e Wenzl degli anni 90 e sono in certe situazioni classifi- cati da gruppi quantistici compatti Gq dove Gq e‘ la q-deformazione di Drinfeld-Jimbo, e da un associatore dato da un 3-cociclo sul duale del centro. Ci occuperemo dell’analogo problema per categorie associate a teorie di campo conformi con regole di fusione di Verlinde. Tali categorie emergono dallo studio di modelli WZW, e studieremo l’estensione al caso in cui Gq e‘ sostituito da un’opportuna algebra w-Hopf debole.
§ Eventuali altri partner esterni e ruolo nel progetto 2020
Project B S. Carpi, Universita` di Tor Vergata (algebre di vertice e reti conformi) Project B S. Ciamprone, CNR Potenza (algebre quasi Hopf, deboli)
§Consuntivo scientifico per gli ultimi due anni di finanziamento ottenuto (risultati e pub- blicazioni relative) 2020
I risultati conseguiti nell’ultimo anno sono gia` stati ampiamente descritti nella sezione ”Inno- vativita` della ricerca, e potenzialita` di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte”.
Pubblicazioni del gruppo (in aggiunta a quelle dei Profs. R. Conti, C. Pinzari e F. Scarabotti gia` inserite nelle precedenti sezioni della presente domanda):
(a list of publication of all the subprojects follows, including the following)
Ci sono tanti altri lavori in corso, alcuni vicini alla stesura definitiva, tra cui spicca
Project B S. Carpi, S. Ciamprone, C. Pinzari: Weak quasi-Hopf algebras, C∗-tensor categories and Conformal Field Theory, circa 150 p.

• 2021 Algebre di operatori, geometria non commutativa, gruppi quantistici e applicazioni alla teoria quantistica dei campi, alla combinatoria e alla teoria delle rappresentazioni. responsabile scientifico Fabio Scarabotti, Universita` di Roma La Sapienza, progetto medio. Valutazione: Va- lidita` scientifica degli obiettivi proposti: Eccellente. Congruita` del budget: Ottimo.Conoscenza dello stato dell’arte etc: ottimo. Esperienza e autorevolezza scientifica del coordinatore nel set- tore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni censite in IRIS, valutate secondo i parametri previsti per ASN: Ottimo. Esperienza, autorevolezza e adeguatezza del gruppo di ricerca nel set- tore specifico quale risulta dalle sue pubblicazioni censite in IRIS, valutate secondo i parametri previsti per ASN, con riferimento alla numerosita` del gruppo: Ottimo. Chiarezza degli obiettivi e realizzabilita` del progetto anche alla luce degli impegni temporali assunti dal proponente su altri progetti in corso (come emersi in sede di audizioni): Eccellente. Finanziamento: 13.200E.
§ Abstract 2021:
Project B Nell’ambito dello studio di Gruppi quantistici e teorie di campo conforme intendiamo continuare lo sviluppo di una teoria di algebre quasi Hopf deboli per lo studio di varie questioni che emergono nelle principali teorie di campo conforme come ad esempio l’unitarizzabilita‘ oppure l’equivalenza di strutture tensoriali.
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale 2021:
Project B In particolare, lo studio di categorie tensoriali C∗ intrecciate e‘ motivato dalla formu- lazione algebrica della teoria dei campi di Doplicher, Haag e Roberts. Esempi importanti di tali categorie sono forniti dai gruppi quantistici alle radici di 1. Essi sono in relazione con le teorie di campo conformi nell’ambito delle algebre di Lie affini, algebre di vertice, grazie a importanti lavori di Kazhdan-Lusztig, Finkelberg, Huang-Lepowski .
§ Descrizione obiettivi progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico 2021:
Project B Nell’ambito dei gruppi quantistici, ci si propone come obiettivo quello di costruire strutture unitarie su categorie tensoriali che provengono dalle teorie di campo conforme della fisica teorica quantistica. Inoltre ci si propone di studiare problemi di equivalenza di teorie di rappresentazioni che vengono dai tre ambiti interdisciplinari dei gruppi quantistici, algebre di vertice e conformal net. Spieghiamo nei prossimi capoversi piu‘ in dettaglio questa parte della nostra ricerca. Alcuni dei problemi posti sono in via di risoluzione in un lungo lavoro che attualmente ha circa 170 pagine in collaborazione con il Prof. Sebastiano Carpi (Universita‘ di Tor Vergata) e il dott. Sergio Ciamprone, altri sono problemi aperti per il futuro.
Un noto problema aperto in questo ambito e‘ quello di studiare esistenza e unicita‘ di strutture unitarie per categorie tensoriali semisemplici. Abbiamo risultati in corso di stesura che risolvono questo problema attraverso l’introduzione della nozione di algebra weak quasi-Hopf. Abbiamo intrapreso uno studio sistematico di queste algebre che, per la prima volta, estende il contesto dei gruppi quantistici, ed abbiamo introdotto una nozione di struttura unitaria in queste algebre. In- oltre dimostriamo che per categorie semisemplici tensoriali con un numero finito oppure infinito di elementi semplici abbiamo sempre algebre di questo tipo che le descrivono. Questi risultati sono stati ottenuti attraverso la costruzione delle cosi‘ dette funzioni di dimensione debole a valori interi definite sull’anello di Grothendieck.
Da queste costruzioni otteniamo che una categoria semisemplice tensoriale linearmente equiv- alente a una tensoriale puo‘ essere resa in un unico modo una categoria unitaria tensoriale e che due categorie unitarie tensoriali tensorialmente equivalenti sono anche anche unitariamente ten- sorialmente equivalenti. Questi risultati trovano applicazione in particolare in categorie associate a CFT razionali.
Un altro problema in questo ambito di cui ci proponiamo lo studio e‘ quello dell’equivalenza tra le categorie tensoriali con simmetrie del gruppo delle trecce associate ai gruppi quantistici alle radici dell’unita‘, i net conformi dello stesso tipo nel senso di Wassermann, Kawahigashi- Longo-Mueger, e le algebre di vertice affine. La teoria di Finkelberg-Kazhdan-Lusztig stabilisce una equivalenza tra categorie associate di fusione intrecciate ribbon di gruppi quantistici a radici
dell’unita‘ e algebre di vertice affine, ed e‘ stata formulata alla fine degli anni 90 in una serie di lavori complessi, tra i piu‘ belli nell’ambito interdisciplinare tra gruppi quantistici e teorie di campo conforme.
Si intende inserire i risultati in un contesto teorico mediante la formulazione della nozione di algebre di Hopf C∗-deboli, che estendano nozioni originariamente introdotte da Drinfeld, e se ne studieranno le proprieta‘. Abbiamo risultati in corso di redazione che risolvono questo problema per il tipo di Lie A, e che sono di natura classificatoria, per tutte le categorie con date regole di fusione, e un isomorfismo tra gli anelli di Grothendieck associati che conservano la struttura ribbon. Abbiamo risultati parziali per gli altri tipi di Lie.
Ci proponiamo di costruire algebre di Hopf deboli associate alle categorie quoziente semisem- plici dei gruppi quantistici dell’unita‘ per tutti i tipi di Lie. Abbiamo gia‘ ottenuto risultati classi- ficatori dal tipo di Lie A ai tipi di Lie diversi da A. Un altro problema estremamente interessante e‘ quello di cercare una costruzione diretta di algebre di Hopf deboli a partire da categorie di V- moduli di algebre di vertice affine e funtore di energia minima sull’algebra di Zhu. Questo tema e‘ aperto da vari decenni ed e‘ per noi importante come metodo per cercare una dimostrazione diretta possibilmente semplificata dell’equivalenza ribbon di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg che sia indipendente da questa teoria come proposto da Huang.
§ Innovativita‘ della ricerca, e potenzialita‘ di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte 2021:
Project B Studio delle teorie di campo conforme, nell’approccio algebrico, dove un ruolo inno- vativo e‘ associato all’algebra di Zhu, potenzialmente utile per trovare una dimostrazione diretta della teoria di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg di collegamento tra categorie di rappresentazioni semisemplici tra gruppi quantistici alle radici di 1 e di algebre di vertice affine e alla sua struttura wqh che stiamo introducendo. Un ruolo innovativo e‘ l’uso della nozione di dimensione debole per il problema dell’esistenza e unicita‘ delle strutture unitarie su categorie tensoriali semisem- plici.
Project A Studio dei gruppi quantistici compatti, e.g. tutti i gruppi di Lie classici, duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi liberi, deformazioni quantistiche che potenzialmente estende ai gruppi quantistici discreti il teorema di Gromov sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti e la dimensione topologica.
§ Descrizione delle attivita` e dei compiti dei partecipanti 2021:
Project B Pinzari: Studio di algebre quasi Hopf deboli di Mack-Schomerus, di algebre w-Hopf, costruzione dell’equivalenza tensoriale tra le categorie associate ai gruppi quantistici alle radici di 1 di tipo A e la categoria associata al corrispondente net conforme. Costruzione di strutture unitarie in astratto e in concreto in categorie associate a classi di algebre di vertice, o in categorie astratte semisemplici anche con infiniti oggetti semplici, costruzione di esempi di algebre w- Hopf associate a diverse funzioni di dimensione debole, classificazione delle algebre w-Hopf associate alla categoria del net conforme di tipo A con dimensioni deboli classiche, teoria di Finkelberg-Kazhdan-Lusztig mediante l’uso delle algebre w-Hopf.
Project B Giannone: Un gruppo quantistico compatto puo‘ essere visto come una categoria ten- soriale C∗ rigida C munita di un funtore tensoriale fibra F. Il problema analizzato da Neshveyev e Yamashita nel 2016 e‘ la classificazione delle coppie (C,F) tali che le regole di fusione siano come per Rep(G), ove G e‘ un dato gruppo di Lie compatto semplicemente connesso, e le di- mensioni associate a ciascun oggetto tramite il funtore F coincidano con quelle classiche. I loro risultati si basano su quelli di Kazhdan e Wenzl degli anni 90 e sono in certe situazioni classifi- cati da gruppi quantistici compatti Gq dove Gq e‘ la q-deformazione di Drinfeld-Jimbo, e da un associatore dato da un 3-cociclo sul duale del centro. Ci occuperemo dell’analogo problema per categorie associate a teorie di campo conformi con regole di fusione di Verlinde. Tali categorie emergono dallo studio di modelli WZW, e studieremo l’estensione al caso in cui Gq e‘ sostituito da un’opportuna algebra w-Hopf debole.

§Eventuali altri partner esterni e ruolo nel progetto 2021
Il progetto e` per sua natura piuttosto ampio e si avvale di un’ampia rete di collaborazioni esterne, nazionali e internazionali, che include a vario titolo i seguenti studiosi
(it follows a list of external collaborators, among them:)
Project B S. Ciamprone, CNR Potenza (quasi weak Hopf algebras)
Project B S. Carpi, Universita` di Tor Vergata (algebre di vertice e reti conformi)
§Consuntivo scientifico per gli ultimi due anni di finanziamento ottenuto (risultati e pub-
blicazioni relative) 2021
I risultati gia` conseguiti sono stati ampiamente descritti nella sezione ”Innovativita` della ricerca, e potenzialita` di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte”.
Elenco di alcune pubblicazioni del gruppo (in aggiunta a quelle dei Prof. R. Conti, C. Pinzari e F. Scarabotti gia` inserite nelle precedenti sezioni della presente domanda):
(a list of publication of all the subprojects follows, including the following)
Project B Sebastiano Carpi, Sergio Ciamprone, Marco Valerio Giannone, Claudia Pinzari: Weak quasi-Hopf algebras, C∗-tensor categories and conformal field theory, and an approach to Kazhdan- Lusztig-Finkelberg theorem, arXiv:2101.10016 [math.QA], 182 pagine.
• 2023 Representation Theory and Applications. Responsabile scientifico: Paolo Papi. Progetto grande. Finanziamento: 33.520E.
§ Inquadramento della ricerca proposta in ambito nazionale ed internazionale / National - international framing of the research program 2023:
(My contribution in this section of the project corresponds to the part written in the last sen- tence of the following paragraph.)
A major achievement of Conformal Field Theory in the 1990’s was the classification of uni- tary representations of the Virasoro algebra. At the beginning of the 2000’s affine W-algebras were introduced [K], vertex algebras depending on a simple Lie superalgebra and an even nilpo- tent element f; these objects generalize superconformal algebras and are relevant in many areas of representation theory and mathematical physics. Not less important is their classical limit, the Poisson vertex algebra W(g,f), that for a principal nilpotent f coincides with the famous DS-reduction, which plays an important role in the theory of solitons. The affine W-algebra W (g, f, k) admits a canonical affine subalgebra whose ”size” depends on f and is maximal when f is a minimal nilpotent element. The values of k for which the simple affine W-algebra coincides with this affine subalgebra are called collapsing [A]. In [Drinfeld: Leningrad Math. J. 1 (1990) 1419-1457] quasi-Hopf algebras were introduced and an important class of examples associated to classical simple Lie algebras and KZ equation was constructed.
(Three more chapters of the project follow which I omit.)
§ Descrizione e obiettivi del progetto, conoscenza dello stato dell’arte nel tema specifico e impianto metodologico / Description and objectives of the project, knowledge of the State of the Art and methodology 2023:
(My contribution in the project corresponds to Project called 1b, the following part selected from the original section.)
1. Vertex algebras and related topics
b. Unitary tensor structures of module categories
Certain weak Hopf algebras together with a Drinfel’d twist relating to affine vertex operator
algebras at positive integer level have been constructed in our previous work and used to show existence and uniqueness of unitary structure on the module category of the latter. A construction of a tensor structure on the affine vertex operator algebra based on the Zhu algebra has been given and identified with the structure introduced by Huang and Lepowski for the most part, aiming at a new proof of the Kazhdan-Lusztig-Finkelberg theorem that we plan to complete. In particular, we plan to complete the study of the associativity morphisms in detail. We plan to study the associated weak Hopf algebra as a global or local gauge quantum group, following the work of Witten. We plan to construct a Dirac operator in CFT on the weak Hopf algebra associated to the affine vertex operator algebra constructed in our previous work, motivated by the work of Neshveyev and Tuset in the setting of compact quantum groups. Irreducible representations of simple Lie pseudoalgebras were classified in [BD]. Duality of representations (also in the super case) has been investigated in [CC]. The use of scalar extensions in relating representations of distinct pseudoalgebra structures highlights cohomological properties of pseudo-de Rham com- plexes. We plan to outline a general scalar extension phenomenon for Lie pseudoalgebras of type H and K and to investigate similar instances in the super case. We also aim at generalizing the duality to pseudoalgebra structures that are more general than (r,s) conformal algebras.
[BD] Bakalov, D’Andrea, Kac: Adv. Math. 162 (2001), 1-140; 204 (2006), 278-346; 232 (2013), 188-237; 392 (2021)
[CC] Cantarini, Caselli, Kac: Adv. Math. 378 (2021)
§ Descrizione delle attivita’ e dei compiti dei partecipanti / Description of the activities and tasks of the participants
(My contribution in this section is project 1b. Moreover:)
Beyond the collaborations resulting from such list, further interactions might occur during the development of the project, for instance between Papi and Pinzari on unitarity questions in the vertex algebra and quantum group settings,...
§Innovativita’ della ricerca, e potenzialita’ di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell’arte / Innovation of the research and possible progress beyond the State of the Art
(My contribution in this section of the project is the following)
1b. We would like to extend our previous work with Doplicher and Roberts on Hilbert bi- module representations to construct the field algebra to low dimensional QFT and to study the Virasoro algebra at some central charges from the viewpoint of homogeneous spaces for quantum groups.
Progetti PRIN
• 1997: Analisi Armonica, Algebre di Operatori, Analisi Non Lineare, responsabile scientifico Elena Prestini, Universita` degli studi di Roma Tor Vergata, 24 mesi.
• 1999: Algebre di operatori e fisica quantistica, responsabile scientifico Laszlo Zsido, Univer- sita` degli Studi di Roma ”Tor Vergata” 24 mesi.
• 2002: Algebre di Operatori e Teoria Quantistica dei Campi, responsabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` degli Studi di ROMA ”La Sapienza” 24 mesi
• 2005: Algebre di Operatori ed Approcio Algebrico alla Teoria Quantistica dei Campi, respon- sabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` degli Studi di ROMA ”La Sapienza” , 24 mesi.
• 2007: Algebre di Operatori ed Approccio Algebrico alla Teoria Quantistica dei Campi, respon- sabile scientifico Sergio Doplicher, Universita` degli Studi di ROMA ”La Sapienza”, 24 mesi.
• 2010-11: Algebre di Operatori, Geometria Non-commutativa e Applicazioni , responsabile scientifico Prof. Roberto Longo, 36 mesi.
14. Referee activity. Chapter of Kluwer Encyclopaedia of Mathematics
• I am an international referee for submitted articles including: Communications in Mathemati- cal Physics, Journal of Functional Analysis, Journal of Operator Theory, Reviews in Mathemat- ical Physics, Annali di Matematica, Bollettino UMI, Illinois Journal of Mathematics, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Letters in Mathematical Physics.
• I wrote, by invitation, an article for the Kluwer Encyclopaedia of Mathematics: “Cuntz Alge- bra”.
15. Complete list of publications. Journal papers

CURRICULUM VITAE CLAUDIA PINZARI 29
[1 ] A. D’Andrea, C. Pinzari, S. Rossi: Connectedness and irreducibility of compact quan- tum groups, Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni 40 (2), 71–79 (2019). Cit. 0 (Scopus); 0 (mathscinet) IF 0.476
[2 ] S. Ciamprone, C. Pinzari: Quasi-coassociative C∗-quantum groupoids of type A and modular C∗-categories, Adv. in Math. 322 (2017), 971–1032. Cit. 0 (Scopus), 0 (WOS), 0 (mathscinet) IF: 1.372 (WOS)
[3 ] A. D’Andrea, C. Pinzari, S. Rossi: Polynomial growth of discrete quantum groups, topological dimension of the dual and *-regularity of the Fourier algebra, Annales de l’ Inst. Fourier, 67 (2017), 2003–2027 . Cit. 9 (Scopus); 5 (WOS), 9 (mathscinet) IF 0.638 (WOS)
[4 ] C. Pinzari; J.E. Roberts: Ergodic actions of compact quantum groups from solutions of the conjugate equations, Kyoto J. of Math., 57 (2017): 519–552 Cit 1 (Scopus), 1 (WOS), 5 (mathscinet) IF: 0.425 (WOS)
[5 ] L.S. Cirio, A. D’Andrea, C. Pinzari, S. Rossi: Connected components of compact matrix quantum groups and finiteness conditions, J. Funct. Anal., 9 (2014), 3154-3204. Cit. 14 (Scopus), 8 (WOS), 13 (mathscinet) IF: 1.322 (WOS)
[6 ] C. Pinzari: Growth rates of dimensional invariants of compact quantum groups and a theorem of Høegh-Krohn, Landstad and Størmer. Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), no. 3, 895–907. Cit. 1 (Scopus), 1 (mathscinet), 1 (WOS); IF 0.627 (WOS)
[7 ] C. Pinzari, J.E. Roberts: A theory of induction and classification of tensor C∗–categories, J. Noncommut. Geom. 6 (2012), no. 4, 665–719. Cit. 6 (Scopus), 6 (mathscinet), 3 (WOS); IF 0.878 (WOS)
[8 ] C. Pinzari; J.E. Roberts: A rigidity result for extensions of braided tensor C∗-categories derived from compact matrix quantum groups. Comm. Math. Phys. 306 (2011), no. 3, 647–662. Cit. 7 (Scopus), 6 (mathscinet), 6 (WOS); IF 1.941 (WOS)
[9 ] C. Pinzari; J.E. Roberts: Ergodic actions of SμU(2) on C∗-algebras from II1 subfactors. J. Geom. Phys. 60 (2010), no. 3, 403–416. Cit. 4 (Scopus), 4 (mathscinet), 3 (WOS); IF 0.652 (WOS)
[10 ] C. Pinzari; J.E. Roberts: A duality theorem for ergodic actions of compact quantum groups on C∗-algebras. Comm. Math. Phys. 277 (2008), no. 2, 385–421. Cit. 17 (Scopus); 19 (mathscinet); 17 (WOS); IF 2.075 (WOS)
[11 ] C. Pinzari: Embedding ergodic actions of compact quantum groups on C∗-algebras into quotient spaces. Internat. J. Math. 18 (2007), no. 2, 137–164. Cit. 6 (Scopus), 6 (mathscinet), 6 (WOS); IF 0.597 (WOS)
[12 ] C. Pinzari: The representation category of the Woronowicz quantum group SμU(d) as a braided tensor C∗-category. Internat. J. Math. 18 (2007), no. 2, 113–136. Cit. 12 (Scopus); 10 (mathscinet), 11 (WOS); IF 0.597 (WOS)
[13 ] T. Kajiwara; C. Pinzari; Y. Watatani: Jones index theory for Hilbert C∗-bimodules and its equivalence with conjugation theory. J. Funct. Anal. 215 (2004), no. 1, 1–49. Cit. 37 (Scopus); 38 (mathscinet), 38 (WOS); IF 0.962 (WOS)
[14 ] C. Pinzari; J.E. Roberts: Regular objects, multiplicative unitaries and conjugation. In- ternat. J. Math. 13 (2002), no. 6, 625–665. Cit. 4 (Scopus), 3 (mathscinet), 4 (WOS); IF 0.514 (WOS)
[15 ] D. Kerr; C. Pinzari: Noncommutative pressure and the variational principle in Cuntz- Krieger-type C∗-algebras. J. Funct. Anal. 188 (2002), no. 1, 156–215. Cit. 16 (Scopus); 16 (mathscinet), 16 (WOS); IF 0.924 (WOS)
[16 ] S. Doplicher; C. Pinzari; J.E. Roberts: An algebraic duality theory for multiplicative unitaries. Internat. J. Math. 12 (2001), no. 4, 415–459. Cit. 7 (Scopus); 8 (mathscinet), 7 (WOS); IF 0.422 (WOS)
[17] T. Kajiwara; C. Pinzari; Y. Watatani: Hilbert C∗-bimodules and countably generated Cuntz-Krieger algebras. J. Operator Theory 45 (2001), no. 1, 3–18. Cit. 10 (Scopus); 15 (mathscinet); 10 (WOS); IF 0.534 (WOS)
[18] C. Pinzari; Y. Watatani; K. Yonetani: KMS states, entropy and the variational principle in full C∗-dynamical systems. Comm. Math. Phys. 213 (2000), no. 2, 331–379. Cit. 45 (Scopus) 43 (mathscinet), 42 (WOS); IF 1.721 (WOS)
[19] T. Kajiwara; C. Pinzari; Y. Watatani: Ideal structure and simplicity of the C∗-algebras generated by Hilbert bimodules. J. Funct. Anal. 159 (1998), no. 2, 295–322. Cit. 86 (Scopus); 87 (mathscinet); 84 (WOS); IF 0.760 (WOS)
[20] S. Doplicher; C. Pinzari; R. Zuccante: The C∗-algebra of a Hilbert bimodule. Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8) 1 (1998), no. 2, 263–281. Cit. 37 (Scopus) 37 (mathscinet); 35 (WOS);
[21] C. Pinzari: The ideal structure of Cuntz-Krieger-Pimsner algebras and Cuntz-Krieger algebras over infinite matrices. Operator algebras and quantum field theory (Rome, 1996), 136–150, Int. Press, Cambridge, MA, 1997. Cit. 14 (mathscinet), 3 (WOS);
[22] R. Conti; C. Pinzari: Remarks on the index of endomorphisms of Cuntz algebras. J. Funct. Anal. 142 (1996), no. 2, 369–405. Cit. 25 (Scopus); 23 (mathscinet); 25 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[23] C. Pinzari: Conjugation in representation categories of multiplicative unitaries and their actions on C∗-algebras. J. Funct. Anal. 135 (1996), no. 2, 390–420. Cit. 2 (Scopus), 2 (mathscinet), 2 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[24] T. Ceccherini; S. Doplicher; C. Pinzari; J.E. Roberts: A generalization of the Cuntz algebras and model actions. J. Funct. Anal. 125 (1994), no. 2, 416–437. Cit. 15 (Scopus); 12 (mathscinet), 15 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[25] C. Pinzari: Simple C∗-algebras associated with compact groups and K-theory. J. Funct. Anal. 123 (1994), no. 1, 46–58. Cit. 1 (Scopus), 1 (mathscinet), 1 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[26] C. Pinzari: Regular actions of compact groups on Cuntz algebras. Quantum and non- commutative analysis (Kyoto, 1992), 419–426, Math. Phys. Stud., 16, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1993. Cit. 1 (mathscinet)
[27] C. Pinzari: Duals of compact groups realized by semigroups of nonunital endomor- phisms of C∗-algebras. Operator algebras, mathematical physics, and low-dimensional topology (Istanbul, 1991), 237–247, Res. Notes Math., 5, A K Peters, Wellesley, MA, 1993. cit 0 (mathscinet)
[28] C. Pinzari: Semigroups of nonunital endomorphisms of C∗-algebras and compact group duality. J. Funct. Anal. 115 (1993), no. 2, 432–453. Cit. 2 (Scopus), 1 (mathscinet), 2 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[29 ] T. Ceccherini; C. Pinzari: Canonical actions on O∞. J. Funct. Anal. 103 (1992), no. 1, 26–39. Cit. 7 (Scopus), 4 (mathscinet), 7 (WOS); IF 0.896 (WOS)
[30] T. Ceccherini; C. Pinzari, Simplicity of the fixed point algebra in O∞ under special canonical action of a compact group. Boll. Un. Mat. Ital. A (7) 5 (1991), no. 3, 333–338. 0 (WOS), 0 (mathscinet)
Preprint
[31 ] S. Ciamprone, M.V. Giannone, C. Pinzari: Weak quasi-Hopf algebras, C∗-tensor cate- gories and Conformal Field Theory, and the Kazhdan-Lusztig-Finkelberg theorem. 294 pages, arXiv:2101.10016v9 [math.QA]. https://arxiv.org/pdf/2101.10016v12 Listed in Scopus with ISSN 23318422 and DOI 10.48550/arxiv.2101.10016
[32 ] C. Pinzari: Constructing equivalences between fusion categories of quantum groups and of vertex operator algebras via quantum gauge groups, arXiv:2502.06229 [math.OA] https://arxiv.org/pdf/2502.06229
Chapter in Enciclopaedia
[33 ] C. Pinzari: voce: The Cuntz algebra in: The Kluwer Encyclopaedia of Mathematics, 2002.
PhD thesis
[34 ] C. Pinzari: Azioni di C∗–algebre di Hopf su C∗–algebre e unitari moltiplicativi, Tesi di dottorato, Universita` di Roma La Sapienza, novembre 1994. Difesa gennaio 1996.
Monograph
[35 ] Lecture Notes on Tensor Categories, AQFT, Subfactors, Quantum Groups, Note scritte per il corso di dottorato ‘Gruppi quantistici nelle algebre di Operatori’, Dipartimento di Matematica, Sapienza Universita` di Roma, 2011.
17. Research Activity.
My research activity stems in the field of operator algebras and noncommutative harmonic anal- ysis on (locally) compact groups and generalizations, thanks to the formation by Proff. S. Do- plicher and A. Figa’ Talamanca. It is motivated by applications to Physics, mainly quantum field theories (QFT). The QFT that first motivated my work were those known as Algebraic QFT (AQFT) by Haag and Kastler, and Doplicher, Haag and Roberts.
During my PhD studies my interests moved to the quantum symmetry groups. In this, I was motivated by conformal field theories (CFT), and accordingly I widened my interests to in- clude both compact and locally compact quantum groups, knots (braid group) which appear in their representation categories, non commutative topology and geometry on quantum spaces, and compact quantum homogeneous spaces. For applications I later became interested in Lie theory, both finite and infinite dimensional, including Kac Moody algebras, which first appeared in mod- els of low dimensional quantum field theory in traditional approach, via differential equations.
My recent research activity is motivated by applications to low dimensional quantum field theory, mainly conformal, including the algebraic approach and the vertex operator algebraic approach, and uses functional analysis in a fundamental way. In my work I went back to consider some original works in physics in CFT, and mathematical models, and the result of my research on this topic is summarized in the publication [31].
I have also given earlier contributions on quantum spaces (Pimsner C∗-algebras), quantum en- tropy, quantum variational principle, motivated by quantum statistical mechanics, and Voiculescu topological entropy, which I will shortly mention later.
I will next focus more in detail on my recent research activity (i.e. in the last ten years), and then I will briefly go back to some of my previous research activity. But before passing to this, as I previously described in section 13 with title Funded Research Projects, both Project A and Project B that I proposed to my collaborators, have roots in work that I have previously done either in publications as a single author or in joint works with different collaborators, mainly John E. Roberts, including the publications [4],[6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [17], [19], [20],[ 21], [23], in turn developments of other work that I did on the same research basis where my most of my research activity developed, the study of quantum symmetries motivated by quantum field theory.
Project A and Project B resulted in the following publications. Project B includes the publica- tions [31] and [2], while project A includes the publications [1], [3], [5].
Project B is a broad development of an original project that Prof. Doplicher proposed to me during my PhD studies, the construction of quantum symmetries in low dimensional AQFT as inner global quantum gauge group, and the construction of the field algebra, problem that
I further developed including, beyond AQFT, the traditional setting of affine Lie algebras and vertex operator algebras (VOAs), going back as said to the literature in Physics starting with Belavin, Polyakov, Zamolodchikov, and Knizhnik and Zamolodchikov, Moore and Seiberg, and Witten (for the study of the Wess-Zumino-Novikov-Witten model, also known as WZNW model.
Project A has a more geometric motivation, that can be regarded in the setting of Connes noncommutative geometry for the use of operator algebras and global tools to describe local structures in geometry, which are remarkably different from tools used in classical differential geometry, although in project B we are not searching Connes spectral triples. Rather we were motivated by Hilbert fifth problem in noncommutative geometry, regarding the global character- isation of a Lie group in terms of connectivity and topological dimension, of which we prove existence in several noncommutative examples connecting to Gelfand-Kirillov dimension.
The construction of Connes spectral triples is more naturally included in Project B. Indeed, in [31], the main publication of that project, we have constructed the structure of a weak Hopf algebra associated to the fusion category of a quantum group at roots of unity, and from this a deformed (with the method of the search of a Drinfeld twist) weak quasi-Hopf algebra on the Zhu algebra associated to the minimum energy functor for the WZW model in affine vertex operator algebras at positive integer levels. The Zhu algebra is a quotient of the universal enveloping algebra of the underlying simple Lie algebra (by an ideal which is not a coideal), that together with our quantum group structure is in the position of the search of a Dirac operator, in analogy to the breakthrough work by Neshveyev and Tuset in the setting of compact quantum groups, who used Drinfeld twists and Kazhdan-Lusztig theory to this aim, and inspired our approach in [31] to Finkelberg-Kazhdan-Lusztig theorem, in relation to the problem posed by Y.-Z. Huang. In our setting one already needs to construct a Dirac operator on the Zhu algebra from that of the universal enveloping algebra.
Project A considers quantum groups, that are often understood as noncommutative spaces with C∗-structure in Gelfand theory, endowed in addition with a group structure in Woronowicz theory. Generalizations include noncommutative homogeneous spaces, that are noncommuta- tive spaces always endowed with a quantum group action (quantum homogeneous spaces). In some older work, [19], [20], [21], I have also studied noncommutative spaces with no (quantum) group action. An important contribution by the candidate, is the understanding of such homo- geneous spaces in the setting of Tannakian duality, extending and completing previous work by Woronowicz and by Bichon-De Rijdt and Vaes. This was done in [10].
In this regard, Project B may combine in the future with project A, in that some of the most relevant results from project A about the discovery of a quantum group structure on the Zhu algebra for the WZNW model, associated to the minimum energy functor (Zhu algebra) may be applied to develop construction of Dirac operators, now closer with tools to the genuine formulation of Connes noncommutative geometry where, most importantly, given the setting of AQFT, we would automatically consider the Einstein signature of space time, rather than Euclidean signature. This project may be regarded as an analogue or development of important results by Neshveyev and Tuset on Dirac operators on compact quantum groups.
Publication [4] belongs to a project in the setting of compact quantum groups where I worked with John E. Roberts for several years, with the purpose of extending to this setting the construc- tion of an inner symmetry compact gauge quantum group. This publication is relevant in the application becaise of the possible generalization to the case of quantum groups at roots of unity in the future, as part of Project B.
In [4] we have that quantum symmetry often takes the form of an ergodic action, because the setting of quantum groups is not general enough for all models, differently from the high dimen- sional case by Doplicher and Roberts, where compact groups suffice, thanks to the permutation symmetry. Examples in the setting of compact quantum groups are given by Podles spheres. This feature is expected to hold also in the setting of quantum groups at roots of unity.

The field algebra to be constructed in Project B is accordingly expected to be described by Hilbert C∗-bimodules rather than Hilbert spaces,. in the setting of compact quantum groups, the conceptual construction of the Field Algebra corresponding to Doplicher-Roberts Field Algebra construction in high dimensional theory was completed earlier. The concluding paper in that setting is [7 ].
In [7] we assume an ergodic action of a compact quantum group. In [4] we then construct both the compact quantum group and an ergodic action of it on a noncommutative homogeneous space in a natural way from the category, to which the results of [7] apply under a general assumption that is always satisfied, existence of conjugates in the category, that describe particle and antiparticle duality.
The Hilbert bimodules that we construct carry actions of the compact quantum group, and are understood as induced representations in the sense of Mackey in the quantum case by a virtual quantum subgroup corresponding to the ergodic action of the given compact quantum group, to be understood as the larger group in classical Mackey theory. The central paper for these construction is [10] where we have discovered a purely tannakian description of ergodic actions of compact quantum groups on unital C∗-algebras, extending usual Tannakian duality by Woronowicz in the setting of compact quantum groups, extending Tannaka-Krein duality for classical compact groups. This Tannakian description of ergodic actions of compact quantum groups allowed natural constructions of compact quantum homogeneous spaces associated as- sociated to a given tensor C∗ category with conjugates, simple unit and objects of (quantum or statistical or instrinsic) dimension > 2. In the high dimensional case, Doplicher-Roberts theory gives a genuine compact group with classical theory of induction by Mackey.
The case of objects of dimension < 2 can not be treated in the setting of compact quantum groups. It requires Jones index theory, or quantum groups at roots of unity, which most im- portantly admit unitary representation of the braid group by the work by Jones (in Jones index theory) and Wenzl (in the theory of quantum groups at roots of unity) an important feature as it appears in low dimensional AQFT. The setting of quantum groups at roots of unity also allows objects of dimension > 2. The case of compact quantum groups allows unitary representations of the braid group only very rarely. This is included in Project B. For example, Woronowicz deformations of the classical compact Lie groups admit representations of the braid group with selfadjoint generator. This motivates the passage to quantum groups at roots of unity.
18. Research Activity: Some main results in greater detail.
I next pass to describe some of the results of Project A and Project B in greater detail.
The long preprint (1) treats the problems described in Project B summarised at page 12, and more in detail specified in our applications to University projects in Section 13, with title Funded Research Projects.
The paper (1) is the result of an interdisciplinary work involving Kac-Moody algebras, vertex operator algebras, quantum groups in the operator algebraic setting, conformal quantum field theory in the operator algebraic approach (AQFT), with cited collaborators, dott. S. Ciamprone and dott. M.V. Giannone, during their PhD studies in Sapienza started in 2016.
Prof. S. Carpi (Tor Vergata University) a former coauthor since 2018, asked final removal of his name among coauthors, after a long period of uncertainty on his part started in August 2020, and after the work was complete according to our established original project, in January 2023. For this reason, version 8 appears without his name as withdrawn by arXiv. Previous versions are available in arXiv, as well as future versions, without his name among coauthors. Carpi’s contribution is contained in a single draft section of the first version of [31] in arXiv, that was written in 2018, on applications of weak quasi-Hopf algebras to unitary structures of some models of vertex operator algebras. This section is based on my previous work by S. Ciamprone on unitary structures of representations of weak quasi-Hopf algebras with unitary representations
of the braid group, in turn based mainly on the work by H. Wenzl, and is not mathematically self- contained, proofs are given in other abstract sections on tensor categories and weak quasi-Hopf algebras.
I will next describe some of the results in (1), and potential for future research, omitting most technical aspects.
In (1) we study general tensor categories with algebraic and analytic properties satisfied by those arising in Conformal Field Theory, their unitarizability with applications to various models including the affine VOAs, which concern KLF Theorem. We also discuss classification of type A Verlinde fusion categories with different tools, of classificatory nature.
While proposing a direct proof of Finkelberg-Kazhdan-Lusztig (FKL) theorem, we simultane- ously give an advancement to a long-standing problem posed by Prof. Doplicher during my PhD studies. The problem concerns the construction of a quantum gauge group with a semisimple C∗- algebra and Field Algebra, naturally associated to models in Conformal Field Theories (CFT), in the setting of low dimensional Algebraic Quantum Field Theory (which is based on Functional Analysis), as an extension of Doplicher-Roberts construction of gauge compact group and Field Algebra in high dimensional theories. A related problem was posed by Moore and Seiberg in the late 80s in the setting of Conformal Field Theory in physics.
One of the main results is a new approach to KLF theorem. KLF theorem has an intricate history and it was known with very indirect proof, references may be found in the introduction of (1). It was published in 1996 by M. Finkelberg, and it is strongly based on monumental work by Kazhdan and Lusztig. The theorem originally asserts an equivalence between the fusion category of quantum groups at certain roots of unity and certain fusion categories appearing in models of CFT in the physics literature.
In our approach to this theorem, ideas originating in the algebraic approach to 4D AQFT, which is a different setting, and Doplicher-Roberts work on the construction of the internal group of global symmetries have been used. Moreover we have used Drinfeld twist method, and con- structed the needed twist to show equivalence. To this aim we were inspired by the construction and use of a Drinfeld twist in the work by Neshveyev and Tuset on Kazhdan-Lusztig theorem for a generic parameter. For the construction of our twist, the work of Wenzl on the construction of unitary structures in fusion categories of quantum groups at certain roots of unity (those ap- pearing in the physical models) based of Drinfeld coboundary matrix (a modified R-matrix) in an analytical setting plays a central role.
These ideas have been greatly developed to give tools to construct weak quasi-Hopf algebras, algebraic structures introduced by Mack and Schomerus in the 90s motivated by the work of Drinfeld on quasi-Hopf algebras to treat certain physical models. The first example of construc- tion of such weak quasi Hopf algebras was done in (3) with Ciamprone, for Verlinde fusion rules of the type A case, advancing mathematically original work by Mack and Schomerus in the 90s on weak quasi-Hopf algebras, there had not been any advancement to extend and develop their work since then. In our case we remark in (3) on a suitable triviality property of the associator of our examples, thus putting them among genuine Hopf algebras, although with weak features (necessary non-unitality of coproduct to describe truncation features of fusion rules.)
In (1) we have axiomatized weak Hopf algebras among weak quasi-Hopf algebras and con- structed them from fusion categories at quantum groups at roots of unity for all Lie types, ex- tending the work of (3) with different methods. This in particular was the main part of the project indicated by S. Ciamprone in his application to University funds for ”avvio alla ricerca”. More- over we have axiomatized and constructed such algebras with unitary representations of the braid group, that we have called unitary coboundary weak Hopf algebras.
Our methods have new aspects as compared to Doplicher-Roberts methods, not only for the new quantum group aspects as compared to the classical group aspects, but also for the fact that the fusion category of quantum groups at roots of unity is not Tannakian, whereas in Doplicher- Roberts setting it corresponds to the representation category of a compact Lie group which is Tannakian (of course on the 4D quantum field theory and conformal field theory sides, the cor- responding categories are both non-Tannakian).
.
We have studied, among other models, the important WZNW (Wess-Zumino-Novikov-Witten) model in the setting of affine Lie algebras, vertex operator algebras, and conformal nets (the al- gebraic quantum field theory approach to CFT) solving simultaneously a long-standing problem posed in the 90s by Frenkel and Zhu of constructing a quantum group structure (weak quasi-Hopf algebra) on the Zhu algebra associated to the minimal energy functor of the module category of the corresponding VOA. We simultaneously proved a direct connection with the modular (rib- bon braided tensor) structure constructed by Huang and Lepowski from 1994 till 2005, and we have established a general theory to construct, with roots in the work by Hans Wenzl in the area of quantum groups at roots of unity, unitary structures with unitary representations of the braid group in categories arising from quantum groups and CFT in the setting of vertex operator algebras.
We reconsider the problem historically. Our work has roots in original work by Kohno who set up a deep relationship between quantum groups at certain roots of unity on sl2 and conformal field theory, based on the use of Kac-Moody algebras, the work of V. F. R. Jones in subfactor theory, and in physics on the work by Belavin, Polyakov, and Zamolodchikov. This work was then developed by Drinfeld in the 90s, albeit in a substantially different setting, who proved what is known as Drinfeld-Kohno theorem.
We combine some ideas of Drinfeld-Kohno theorem in a different setting, suitably widely generalized and applied to vertex operator algebras with tools from a combination of Tannakian with Doplicher-Roberts reconstruction applied to a specific functor, the minimal energy functor. We obtain the construction of quantum gauge groups (technically, semisimple weak Hopf C∗- algebras, a notion that we introduce) and their twisted structues on the Zhu algebra in the setting of VOA. Part of our tools extend work of Drinfeld to an analytic setting. The Zhu algebra, equipped with the quantum group structure that we construct, detects most of the analytic and algebraic structure of the corresponding module category of the affine Lie algebra.
We study a certain untwisting procedure inspired by the work of Hans Wenzl in 1998 in the setting of quantum groups at roots of unity, and make a connection with the work of Wassermann in the setting of applications of Kac-Moody algebras in conformal nets, via the idea of primary fields, which play a central role for our proof of KLF theorem.
Our results rely on the notion of semisimple weak-quasi-Hopf algebra of Drinfeld-Mack- Schomerus. We were guided by Drinfeld original proof of Drinfeld-Kohno theorem, but also by the general scheme settled by Bakalov and Kirillov for Drinfeld-Kazhdan-Lusztig at generic pa- rameters over C which reduces the theorem to Hopf and quasi-Hopf algebras, and by Neshveyev and Tuset Tannakian approach via discrete algebras for a positive parameter.
We directly compare the unitary modular tensor category structure constructed in (1) with the method of Drinfeld twist with the the work by Wassermann, Toledano-Laredo in the setting of conformal nets, and with the ribbon tensor category with roots in constructed by Huang and Lepowsky for affine VOAs.
After developing general algebraic theory of weak quasi-Hopf algebras, we discuss a corre- sponding analytic theory, which is based on the notion of Ω-involution by Gould and Lekatsas, we introduce a notion of weak Hopf algebra as an analogue of the notion of Hopf algebra. We extend the theory of compact quantum groups in the work by Woronowicz’.
We notice that weak quasi-Hopf algebras may be associated to semisimple tensor categories under very mild assumptions, e.g. amenability, that allow to construct integral valued submul- tiplicative dimension functions (weak dimension functions), extending original results by Mack and Schomerus and Haring-Oldenburg.
We construct unitary tensor structures on linear C∗-categories that are tensor equivalent to unitary tensor categories. Applications include unitarization of affine VOAs, built on the known tensor equivalence by Kazhdan-Lusztig-Finkelberg-Huang-Lepowsky equivalence and
unitarity
of quantum group fusion categories by Kirillov-Wenzl-Xu. In particular, we apply our approach to solve a problem posed by Galindo on uniqueness of the unitary tensor structure.
In the second part of the paper we study unitary tensor structures of Verlinde fusion categories more in detail. We introduce specific Ω-involution on a general ribbon wqh algebra associated to the braiding, that we call unitary coboundary wqh by abstracting the case of Uq(g). We give a categorical characterization and turns out to extend symmetric tensor functors in Doplicher- Roberts theorem.
In the case of Verlinde fusion categories of type A, we start with Kazhdan-Wenzl theory and use a number of ideas in the quantum group literature including a result by Bischoff for sl2 at in- tegerlevelandNeshveyevandYamashitaforslN inthegenericcaseandusethespecificstructure on a w-Hopf algebra previously constructed by two of us to classify the category completely.
Then we approach the connection problem between affine VOAs and quantum group fu- sion categories. We follow a Tannakian scheme indicated by Neshveyev-Tuset-Yamashita for q generic based on the use of discrete quasi-Hopf algebras of Drinfeld, extending it to the weak generalization introduced by Mack and Schomerus, that is we work with discrete weak quasi- Hopf algebras. These weak versions still admit a notion of twist. We generalize the notion of 3-coboundary associator to the weak setting.
We formulate an abstract converse of Drinfeld-Kohno theorem in an analytic setting for the unitary coboundary wqh providing an untwisted unitary coboundary wqh algebra in the subclass, that is with the mentioned very simple R-matrix similarly to Drinfeld case and also a trivial unitary structure on sufficiently many representations following Wenzl that determine the whole structure.
We construct a semisimple unitary coboundary w-Hopf algebra structure on Wenzl algebra AW (asemisimplesubquotientofthequantumuniversalenvelopingalgebraUq(g))withrepre- sentation category equivalent to the corresponding Verlinde quantum group fusion category. We construct a 3-coboundary Drinfeld associator. We transport an untwisted unitary coboundary wqh algebra structure to the Zhu algebra AZ of the associated affine VOA at integer level via the twist and Wenzl path and from this to the corresponding affine Lie algebra representation category that makes it into a unitary modular fusion category. We compare with early work by Kirillov and then by Wassermann, Toledano-Laredo, Gui, Huang and Lepowsky braiding and associativity structures.
The potential of our work (1) resides on the possibility of extending to CFTs the construction of the Field Algebra performed by Doplicher and Roberts in the early 90s in high dimensional theories. Moreover on the possibility of opening more deep Kazhdan-Lusztig correspondences between VOA and quantum groups, as observed by Huang in a private communication, and also the study of Dirac operators in CFT using the Zhu algebra. The former opening can be based on extending our previous joint work with previous collaborators from the setting of compact quan- tum groups to that of weak Hopf C∗-algebras with ribbon and unitary structure, thus allowing unitary representations of the braid group by our theory. For example, our previous paper [2] preceeds (1) and gives a mathematical advancement of Mack-Schomerus work for sl2 in math- ematics about construction of weak Hopf C∗-algebra with representation category equivalent to the unitary modular fusion category associated to the Drinfeld-Jimbo quantum group Uq (slN ) at suitable roots of unity. This weak Hopf C∗-algebra extends important examples of the compact quantum groups SUq(N) obtained by Woronowicz. In (1) the construction is extended to all Lie types, among other things, with general methods that do not use the specific fusion rules. Some of my previous work with J.E. Roberts in the setting of compact quantum groups, i.e. [10], [7], [8], [12], is now in the position of being extended with applications to the Field algebra in CFT. Indeed, that previous work conceptually corresponds to the global gauge quantum group, already constructed in (1), and Field algebra construction in Doplicher-Roberts theory in the setting of compact quantum groups. It is interesting for example to extend the theory of ergodic actions to weak Hopf C∗-algebra, and look for application to the Virasoro algebra.
Model-consistent constructions of field algebras in conformal field theories are considered relevant to shed light on the rigorous construction of the fields and of models in high-dimensional theories.
The tools and open discussions that took place during the former collaboration with S. Carpi on (1), have found central use in some papers including Carpi-Tanimoto-Weiner (March 2021), Carpi-Gaudio-Giorgetti-Hillier (November 2022), Adamo-Giorgetti-Tanimoto (January 2023), the indicated years refer to the appearance of the papers in arXiv.
The papers [3], [5] and [1] concern Project A, summarized at page 12 and described in the funded University projects in section 13 since 2016. The extensive introduction of [4] describes the project, which is original proposal by the candidate, in detail. Summarizing, the class of compact quantum groups is extremely broad, it contains within it classical Lie groups, but also duals of arbitrary discrete groups and extremely free examples that have been discovered by Wang, Van Daele, Banica in recent decades. An important problem is to study geometric proper- ties of them, for example Connes spectral triples, selecting classes for which the classical theory extends. To this end, we propose the study of the quantum analogue of the fifth Hilbert problem, which classically states that a Lie group is determined among topological groups by its dimen- sion and connection properties. The project has the potential to extend Gromov’s complex 1981 theorem on polynomial growth of discrete groups to discrete quantum groups through the use of tensor categories.
In [5] we introduce the notion of connected component of a compact quantum group and study it using the powerful tool of tensor categories. This paper is based on [7] and [10]. In [5] we give conditions that imply normality and the finiteness of the connected components. Already in the setting of discrete groups, this is a non-trivial task, and one needs to find extension to the setting of discrete quantum groups, which are duals of the compact quantum groups.
In [3] we introduce the notion of topological dimension of a compact quantum group. Banica and Vergnioux had previously shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. In [3] we extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group of Kac type implies ∗-regularity of the associated Fourier algebra: every closed ideal of the noncommutative function algebra has a dense intersection with the Fourier algebra, which in particular has a unique C∗-norm.
My earlier contributions in [13], [19], [17], concern noncommutative geometry in the sense of A. Connes, in operator algebras. In [13] we establish an equivalence between Jones index for subfactors and the theory of conjugation in tensor C∗-categories arising from the work by Do- plicher, Haag,and Roberts in AQFT. In [19] we study of closed ideal structure in the important class of Cuntz-Krieger-Pimsner operator algebras associated to Hilbert C∗-bimodules which are noncommutative vector bundles. In [17] we generalize results by Cuntz and Krieger on unique- ness, simplicity and the ideal structure of the algebras associated with finite matrices with entries in 0, 1 to the case where the matrix is infinite matrix with rows and columns eventually zero. Similar results were obtained by Kumjian, Pask, Raeburn and Renault from the viewpoint of Re- nault’s theory of groupoids. Our approach is on the realization of the Cuntz-Krieger as a Pimsner algebra generated by a Hilbert C∗-bimodule.
The works [15], [18] and [22] are advances on two different subjects. The paper [15] concerns topological entropy and non commutative pressure in the setting of C∗-algebras where we estab- lish a variational principle. We define a notion of dynamical pressure for a selfadjoint element of an exact C∗-algebra which adopts Voiculescu’s approximation approach to noncommutative entropy and extends the Voiculescu-Brown topological entropy and Neshveyev and Stoermer unital-nuclear pressure. A variational inequality bounding the below by the free energies with respect to the Sauvageot-Thouvenot entropy is established. Pimsner C∗–algebras associated to
Hilbert C∗ bimodules, extending both Cuntz algebras and Cuntz-Krieger algebras are a natural framework for this problem. We investigate the variational principle for Pimsner algebra. In one direction we extend Brown’s result on the constancy of the Voiculescu-Brown entropy upon passing to the crossed product, and in another we show that the pressure of a self-adjoint ele- ment over the Markov subshift underlying the canonical map on the Cuntz-Krieger algebra OA is equal to its clas- sical pressure. The latter result is extended to a more general setting comprising an expanded class of Cuntz-Krieger-type Pimsner algebras, leading to the variational principle for self-adjoint elements in a diagonal subalgebra. Equilibrium states are constructed from KMS states under certain conditions in the case of Cuntz-Krieger algebras.
The paper [18] is a precedent of [15]. To any periodic and full C∗–dynamical system described by a C∗algebra and a continuous action of the circle, we associate an invertible operator s acting on the Banach space of trace functionals of the fixed point algebra is canonically associated. KMS states correspond to positive eigenvectors of s. A Perron-Frobenius type theorem that we obtain asserts the existence of KMS states at inverse temperatures equals the logarithms of the in- ner and outer spectral radii of s (extremal KMS states). We discuss many example, including thos arising from subshifts in symbolic dynamics, self-similar sets in fractal geometry and noncom- mutative metric spaces. We study the relationship between the Voiculescu topological entropy of naturally associated completely positive maps and the topological entropy of the associated subshift is studied. We discuss examples where the equality holds among Matsumoto algebras associated to non finite type subshifts. In the general case we show that the topological entropy is bounded by the sum of the entropy of the subshift and a suitable entropic quantity of the ho- mogeneous subalgebra and that summands are necessary. We compare the measure-theoretic entropy of in the sense of Connes-Narnhofer-Thirring, to the classical measure-theoretic entropy of the subshift. We establish a noncommutative analogue of the classical variational principle for the entropy is obtained for the canonical endomorphism of certain Matsumoto algebras. In the case of Cuntz-Krieger algebras we perform an explicit construction of the state with maximal entropy from the unique KMS state.
The paper [22] is a pioneering work on the Jones index of endomorphisms of Cuntz algebras. We consider the class of “localized endomorphisms” of the Cuntz algebras Od and we make some computations on the Jones index of the associated endomorphisms of type IIIλ factors with λ = 1/d. This paper, together with cited work by P. Akemann, by is completely new in the literature on the subject. This paper is the starting point of further developments by Conti and his co-authors on this subject.
In [25] we study K-theory of C∗-algebras canonically associated to compact groups via the action induced by the regular representation on the Cuntz algebra of the associated Hilbert space.
In my PhD thesis [33] we study canonical actions of Hopf C∗-algebras associated to the very general setting of multiplicative unitaries by Baajand Skandalis, which contains the setting of locally compact quantum groups, on certain generalizations of the Cuntz algebras on infinite dimensional Hilbert spaces, that we introduce. We obtain an interesting result which shows that the fixed point algebra is isomorphic to a copy of the generalized Cuntz algebra itself, by virtue of remarkable property of the regular representation of the locally compact (quantum) group that was developed from previous work by Tatsuuma on duality for locally compact groups. These results have found applications to the development of the theory of Q-systems by Longo.

Claudia Pinzari