Ingegneria Civile

Il programma del corso si divide in due parti principali: una parte inerente alla teoria della probabilità e una seconda parte relativa all'introduzione di modelli statistici di base con rilevanti applicazioni per l'Ingegneria. Più in dettaglio, verrà prima discussa una parte introduttiva al corso e suoi obiettivi, presentando concetti di base di calcolo delle probabilità e di statistica descrittiva e inferenziale, specificandone i legami e le connessioni. Poi, i seguenti temi verranno trattati mediante un primo approccio intuitivo, una definizione formale e, infine, la presentazione di vari esempi esplicativi. Probabilità - Introduzione agli spazi di probabilità: richiami di teoria degli insiemi e delle loro proprietà. - Cenni di teoria della misura: definizione di misura e misura di probabilità, definizione di eventi incompatibili, probabilità dell'evento complementare, proprietà (monotonia, disuguaglianza di Boole, principio di inclusione/esclusione per due eventi e per più eventi). - Calcolo combinatorio: definizione di spazio di probabilità uniforme e sue proprietà, combinazioni semplici, disposizioni semplici, permutazioni semplici, disposizioni con re-immissione, legge ipergeometrica (estrazione senza re-immissione); disposizioni senza re-immissione, legge binomiale (estrazione con re-immissione). - Probabilità condizionata e legge delle probabilità totali. - Teorema di Bayes: dimostrazione, problema dei falsi positivi ed affidabilità dei test. - Indipendenza stocastica: indipendenza tra due eventi, indipendenza tra più di due eventi, indipendenza a due a due. - Introduzione alle variabile aleatorie: intuizione, descrizione e definizione, legge di una variabile aleatoria. - Variabili aleatorie discrete: definizione e proprietà, densità discreta, variabile aleatoria binomiale, variabile aleatoria geometrica, variabile aleatoria uniforme discreta, variabile aleatoria ipergeometrica, variabile aleatoria di Poisson, - Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria discreta: definizione e proprietà. - Vettori aleatori discreti: definizione, significato ed esempi; densità di un vettore aleatorio discreto, densità discreta congiunta di variabili aleatorie, densità marginale di una componente di un vettore aleatorio discreto. - Indipendenza tra variabili aleatorie: definizione, significato e fattorizzazione della densità discreta congiunta, densità condizionale di una variabile aleatoria discreta, indipendenza tra funzioni di variabili aleatorie indipendenti. - Funzioni di vettori aleatori discreti: definizione, significato, densità discreta di una funzione di un vettore aleatorio, indipendenza tra funzioni di vettori aleatori indipendenti. - Media di una variabile aleatoria: definizione, media di funzioni reali di vettori aleatori, linearità della media, media di variabili aleatorie di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson e geometrica. - Momenti di una variabile aleatoria: momento k-esimo e momento k-esimo centrato, varianza di una variabile aleatoria, disuguaglianza di Chebyshev, proprietà della varianza, varianza della somma di variabili aleatorie. - Covarianza tra due variabili aleatorie: definizione, significato e proprietà della covarianza, coefficiente di correlazione lineare e le sue proprietà. %\item Teoremi di convergenza monotona e applicazioni alla funzioni di ripartizione. - Variabili aleatorie continue: definizione e significato; variabili aleatorie assolutamente continue, densità continua di una variabile aleatoria continua, proprietà, modelli notevoli (variabile aleatoria uniforme su un intervallo, variabile aleatoria esponenziale). - Vettori aleatori assolutamente continui bidimensionali: densità congiunta e densità marginali, indipendenza, verifica della condizione di indipendenza, variabile aleatoria uniforme su una regione di piano. - Funzioni unidimensionali di variabili aleatorie continue: significato e metodo per determinare la legge della variabile aleatoria trasformata; funzioni unidimensionali di vettori assolutamente continui bidimensionali, formula di convoluzione. - Vettori assolutamente continui bidimensionali: densità condizionale di una variabile aleatoria continua, momenti di vettori aleatori assolutamente continui, media di variabili aleatorie ottenute come funzioni di vettori aleatori assolutamente continui, calcolo dei momenti di variabili aleatorie notevoli. - Variabili aleatorie normali standard e normali: definizione, proprietà di una variabile aleatoria Gaussiana, calcolo della media, calcolo della varianza, variabile aleatoria Gaussiana come trasformazione di Gaussiana standard, grafico della densit\`a con studio di funzione. - Convergenza in distribuzione di successioni di variabili aleatorie (definizione e significato), teorema del limite centrale, legge debole dei grandi numeri Statistica - Inferenza, campionamento e campione statistico, statistica campionaria, media campionaria e varianza campionaria, non distorsione della media e della varianza campionaria, calcolo della varianza della media campionaria; - Applicazioni del teorema centrale del limite: approssimazione normale della media campionaria; campionamento da modello normale, distribuzione esatta della media e della varianza, variabili aleatorie chi-quadrato e t-Student. - Inferenza basata sulla verosimiglianza: funzione di verosimiglianza, stima di massima verosimiglianza, metodo di calcolo della stima di massima verosimiglianza, log-verosimiglianza, problemi di stima non regolari; momenti campionari. - Metodo dei momenti: sistema dei momenti, stima dei momenti. - Cenni su intervalli di confidenza e test d'ipotesi.

Il corso richiede la conoscenza preliminare di temi fondamentali di analisi, quali limiti, integrali, derivate e successioni.

Il testo di riferimento principale adottato è il seguente: - S. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo. Il docente mette a disposizione delle note del corso.

Il metodo didattico principale utilizzato è quello della lezione frontale, finalizzato ad esporre agli studenti non solo il contenuto teorico del corso, ma anche un insieme ampio e consistente di esempi e di casi di studio. Gli studenti saranno comunque invitati a risolvere esercizi, da soli o in gruppo, al fine di sviluppare le capacità di applicare le competenze acquisite durante la lezione frontale nella risoluzione di problemi di probabilità e statistica o applicazioni all'ingegneria.

La frequenza dell'insegnamento è facoltativa, anche se fortemente consigliata.

L'esame di profitto del corso consiste nel superamento di in una prova scritta (obbligatoria) ed una prova orale (discrezionale), entrambe da svolgersi dopo la conclusione del corso. La prova scritta, di durata compresa tra le due e le tre ore, verifica la capacità dello studente di applicare le competenze acquisite durante il corso mediante la risoluzione di esercizi. In particolare, si valuteranno: - la capacità dello studente di individuare una corretta soluzione dell'esercizio e la logica seguita nello sviluppo della soluzione dei quesiti proposti - l'applicazione delle competenze che lo studente si presuppone abbia acquisito alla fine del corso nella soluzione del compito - l'utilizzo di un linguaggio e di un formalismo appropriato. Il superamento della prova scritta è necessario per poter sostenere la prova orale, che invece \`e atta a verificare le capacità dello studente di descrivere con opportuna proprietà di linguaggio le tecniche utilizzate per lo svolgimento della parta scritta. La parte scritta contribuisce per il 70% al voto finale, mentre la parte orale per il 30%.

Altri testi consigliati sono i seguenti: - P. Baldi, Introduzione alla probabilità con elementi di statistica, McGraw-Hill; - E. Orsingher, L. Beghin, Introduzione alla probabilità. Carocci editore; - S. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo Editore.

Il metodo didattico principale utilizzato è quello della lezione frontale, finalizzato ad esporre agli studenti non solo il contenuto teorico del corso, ma anche un insieme ampio e consistente di esempi e di casi di studio. Gli studenti saranno comunque invitati a risolvere esercizi, da soli o in gruppo, al fine di sviluppare le capacità di applicare le competenze acquisite durante la lezione frontale nella risoluzione di problemi di probabilità e statistica o applicazioni all'ingegneria.