Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio

Modelli prescrittivi/predittivi/descrittivi nella teoria delle decisioni a. Dai dati ai modelli; parametri endogeni/esogeni; b. Modelli di programmazione matematica (MP); c. Classificazione dei MP: ottimizzazione non lineare non vincolata, ottimizzazione vincolata (non lineare/lineare, continua/integrale). Ottimizzazione convessa e concava a. Insieme convesso b. Funzioni convesse; caratterizzazione di una funzione convessa; ottimizzazione convessa c. Proprietà della soluzione ottimale di problemi convessi: Teorema [Assenza di soluzione locale di un problema convesso] con dimostrazione d. Funzione concava e ottimizzazione concava e. Proprietà della soluzione ottimale di problemi convessi: Teorema [Assenza di soluzione interna per problemi concavi] con dimostrazione Soluzione grafica del problema MP in due variabili (grafico della regione fattibile, curve di livello in 2D) Ottimizzazione non vincolata a. Esempi di problemi non vincolati: Modelli predittivi parametrici: regressione lineare e problema dei minimi quadrati lineari; Modelli predittivi non parametrici: addestramento di una rete neurale superficiale (NN). Punto di vista algoritmico delle condizioni di ottimalità: i. direzioni di discesa; condizione sufficiente per identificare la direzione di discesa; ii. il caso speciale delle funzioni convesse; il caso speciale delle funzioni lineari; Derivazione delle condizioni necessarie per l'ottimalità del primo ordine non vincolato; il caso speciale delle funzioni convesse/lineari. d. Uso algoritmico delle condizioni di ottimalità: la direzione del gradiente e il metodo del gradiente. L'algoritmo di backpropagation (o gradiente vaniglia) per l'addestramento di NN. Ottimizzazione continua vincolata: a. Esempi di problemi vincolati: i. modelli non lineari: modello di progettazione (non vincolato), (programmazione quadratica) Macchine a Vettori di Supporto per la classificazione supervisionata ii. modelli lineari: Il problema dell'assegnazione, Il problema del trasporto, Il problema della miscelazione, Il problema della gestione delle entrate, Il problema della produzione con scorte, Modellazione di funzioni obiettivo convesse lineari omogenee; Punto di vista algoritmico delle condizioni di ottimalità nel caso di vincoli lineari: assenza di direzioni percorribili e di discesa. c. Caratterizzazione delle direzioni di fattibilità nel caso speciale di vincoli lineari d. Uso algoritmico delle condizioni di ottimalità: i. il metodo del gradiente condizionato (Frank-Wolfe) Derivazione della condizione di ottimalità nel caso di vincoli lineari di sola uguaglianza Teorema: condizione di ottimalità lagrangiana del primo ordine su Ax = b con dimostrazione Derivazione delle condizioni di ottimalità per un problema di disuguaglianza lineare vincolata; teorema Le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker su un poliedro con prova 6. Il caso speciale di min/max di una funzione lineare su un poliedro (problema di programmazione lineare) a. Il teorema fondamentale della LP e la caratterizzazione dei vertici b. Soluzione grafica di problemi LP 2D 7. Teoria della dualità per LP Le condizioni di KKT per LP: Teorema della dualità forte con dimostrazione Teorema della dualità debole con dimostrazione (derivazione dei limiti sul valore ottimale) Analisi di sensibilità: come le variazioni dei parametri del modello influenzano la soluzione Prezzi ombra (marginali) per i vincoli attivi; e. Un algoritmo di soluzione del problema Knapsack continuo basato sul suo duale; f. Uso di solutori non disponibili e interpretazione della soluzione. Programmazione intera a. Esempi di ILP: capital budgeting, problema di Knapsack, generazione di energia, progettazione di reti. b. Esempio di IQP: i problemi SVM con selezione delle caratteristiche. c. Uso di una variabile binaria per la modellazione: vincoli disgiuntivi, funzione obiettivo concava a tratti. d. Il metodo Branch & Bound per ILP e. La soluzione del problema knapsack binario con l'algoritmo B&B

Algebra lineare, vettori, derivate parziali

Dispense a cura della docente

in presenza

La valutazione prevede lo svolgimento di una prova scritte a risposta multipla e aperta che mira alla verifiche delle competenze metodologiche. L'orale è facoltativo

in presenza

Modelli prescrittivi/predittivi/descrittivi nella teoria delle decisioni a. Dai dati ai modelli; parametri endogeni/esogeni; b. Modelli di programmazione matematica (MP); c. Classificazione dei MP: ottimizzazione non lineare non vincolata, ottimizzazione vincolata (non lineare/lineare, continua/integrale). Ottimizzazione convessa e concava a. Insieme convesso b. Funzioni convesse; caratterizzazione di una funzione convessa; ottimizzazione convessa c. Proprietà della soluzione ottimale di problemi convessi: Teorema [Assenza di soluzione locale di un problema convesso] con dimostrazione d. Funzione concava e ottimizzazione concava e. Proprietà della soluzione ottimale di problemi convessi: Teorema [Assenza di soluzione interna per problemi concavi] con dimostrazione Soluzione grafica del problema MP in due variabili (grafico della regione fattibile, curve di livello in 2D) Ottimizzazione non vincolata a. Esempi di problemi non vincolati: Modelli predittivi parametrici: regressione lineare e problema dei minimi quadrati lineari; Modelli predittivi non parametrici: addestramento di una rete neurale superficiale (NN). Punto di vista algoritmico delle condizioni di ottimalità: i. direzioni di discesa; condizione sufficiente per identificare la direzione di discesa; ii. il caso speciale delle funzioni convesse; il caso speciale delle funzioni lineari; Derivazione delle condizioni necessarie per l'ottimalità del primo ordine non vincolato; il caso speciale delle funzioni convesse/lineari. d. Uso algoritmico delle condizioni di ottimalità: la direzione del gradiente e il metodo del gradiente. L'algoritmo di backpropagation (o gradiente vaniglia) per l'addestramento di NN. Ottimizzazione continua vincolata: a. Esempi di problemi vincolati: i. modelli non lineari: modello di progettazione (non vincolato), (programmazione quadratica) Macchine a Vettori di Supporto per la classificazione supervisionata ii. modelli lineari: Il problema dell'assegnazione, Il problema del trasporto, Il problema della miscelazione, Il problema della gestione delle entrate, Il problema della produzione con scorte, Modellazione di funzioni obiettivo convesse lineari omogenee; Punto di vista algoritmico delle condizioni di ottimalità nel caso di vincoli lineari: assenza di direzioni percorribili e di discesa. c. Caratterizzazione delle direzioni di fattibilità nel caso speciale di vincoli lineari d. Uso algoritmico delle condizioni di ottimalità: i. il metodo del gradiente condizionato (Frank-Wolfe) Derivazione della condizione di ottimalità nel caso di vincoli lineari di sola uguaglianza Teorema: condizione di ottimalità lagrangiana del primo ordine su Ax = b con dimostrazione Derivazione delle condizioni di ottimalità per un problema di disuguaglianza lineare vincolata; teorema Le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker su un poliedro con prova 6. Il caso speciale di min/max di una funzione lineare su un poliedro (problema di programmazione lineare) a. Il teorema fondamentale della LP e la caratterizzazione dei vertici b. Soluzione grafica di problemi LP 2D 7. Teoria della dualità per LP Le condizioni di KKT per LP: Teorema della dualità forte con dimostrazione Teorema della dualità debole con dimostrazione (derivazione dei limiti sul valore ottimale) Analisi di sensibilità: come le variazioni dei parametri del modello influenzano la soluzione Prezzi ombra (marginali) per i vincoli attivi; e. Un algoritmo di soluzione del problema Knapsack continuo basato sul suo duale; f. Uso di solutori non disponibili e interpretazione della soluzione. Programmazione intera a. Esempi di ILP: capital budgeting, problema di Knapsack, generazione di energia, progettazione di reti. b. Esempio di IQP: i problemi SVM con selezione delle caratteristiche. c. Uso di una variabile binaria per la modellazione: vincoli disgiuntivi, funzione obiettivo concava a tratti. d. Il metodo Branch & Bound per ILP e. La soluzione del problema knapsack binario con l'algoritmo B&B

Algebra lineare, vettori, derivate parziali

Dispense a cura della docente

in presenza

La valutazione prevede lo svolgimento di una prova scritte a risposta multipla e aperta che mira alla verifiche delle competenze metodologiche. L'orale è facoltativo

in presenza