Ingegneria delle Telecomunicazioni

Programma del corso di Analisi Matematica 2 A.A. 2024/25 Prof. Giuseppe Floridia (versione provvisoria aggiornata al 23/09/2024) Spazi euclidei a n dimensioni. Proprietà dello spazio R^n e definizioni di distanza (o metrica), di norma e di prodotto scalare. Cenni di topologia di R^n: intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi limitati, insiemi compatti, aperti connessi. Richiami di geometria euclidea e analitica nel piano e nello spazio: parallelismo e perpendicolarità fra vettori, rette e piani; equazioni cartesiane di cilindro, sfera, ellissoide, cono e paraboloide.  Curve parametriche. Motivazione fisica, definizione di curva in R^n, curve semplici, chiuse, di classe C^1, regolari e regolari a tratti; versore e retta tangente a una curva in un punto. Orientamento di una curva, cambiamento di parametro ammissibile e curve equivalenti. Lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve di classe C^1. Esempi notevoli di curve. Introduzione alle funzioni reali di n variabili reali. Insieme di definizione e grafico di una funzione. Limiti di funzioni: definizioni, proprietà, metodi per il calcolo dei limiti nel caso di forme indeterminate mediante l’uso della condizione necessaria per l’esistenza di un limite data dal test su curve, e della condizione sufficiente mediante maggiorazioni. Funzioni continue: definizione e proprietà. Massimi e minimi assoluti, teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni reali di n variabili reali. Derivate parziali: definizione, proprietà e nozione di vettore gradiente. Derivate direzionali, direzioni di massima e di minima pendenza. Esempi di funzioni derivabili ma non continue (nel caso n>1) e di funzioni dotate di derivate direzionali in qualsiasi direzione ma non continue. Differenziabilità: definizione, significato geometrico, equazione del piano tangente, continuità delle funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte e formula del gradiente per la rappresentazione della derivata direzionale di una funzione differenziabile. Derivate di ordine successivo: definizioni, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Ottimizzazione per funzioni reali di n variabili reali. Estremi relativi e assoluti: condizione necessaria del primo ordine (teorema di Fermat) per gli estremi relativi, algoritmo per la determinazione del massimo e del minimo assoluto di una funzione di 2 variabili reali continua su un compatto. Condizione sufficiente e condizione necessaria del secondo ordine per i massimi e i minimi relativi per funzioni di 2 variabili reali: enunciati, procedura per la classificazione dei punti critici, studio dei casi “dubbi” in cui si ha il determinante della matrice hessiana nullo ed esempi notevoli. Cenni all’ottimizzazione per funzioni di 3 e più variabili reali. Integrali multipli. Domini normali nel piano: definizioni, misura e proprietà. Integrali doppi: introduzione, definizione, significato geometrico e proprietà notevoli. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e il caso delle coordinate polari. Esempi notevoli e l’integrazione di funzioni simmetriche o antisimmetriche rispetto ad una variabile in domini piani simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Baricentro di domini piani. Integrali tripli. Formule di integrazione per fili o per strati.  Cambiamento di variabili negli integrali tripli: il caso delle coordinate cilindriche e sferiche. Baricentri, momenti di inerzia, massa di un corpo. Forme differenziali lineari, campi vettoriali e integrali curvilinei. Integrale curvilineo di una funzione (int. curv. di prima specie): definizione e proprietà. Definizione di Forma Differenziale Lineare (FDL) esatta e caratterizzazione delle primitive di una FDL esatta su un connesso. Campi vettoriali conservativi, terminologia, motivazione fisica per le FDL, lavoro di un campo vettoriale ed esempi notevoli. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (int. curv. di seconda specie). Caratterizzazione delle FDL esatte. FDL di classe C^1 chiuse: rotore e campi irrotazionali. Tecniche per il calcolo delle primitive. FDL chiuse in aperti semplicemente connessi nel piano (solo cenni a dimensioni maggiori di 2). Locale esattezza di una forma chiusa. Complementi sull’integrazione e superfici regolari. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e di Stokes nel piano. Integrali superficiali di funzioni. Baricentri, momenti di inerzia, massa di una superficie. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Flussi di campi vettoriali attraverso superfici. Teorema della divergenza in R^3 senza dimostrazione. Superfici regolari con bordo. Teorema di Stokes in R^3 senza dimostrazione. Successioni e serie di funzioni.   Convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale per le serie di funzioni. Continuità della funzione limite di una successione o della somma di una serie. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze e serie di Taylor. Funzioni analitiche. Serie trigonometriche e sere di Fourier. Analisi Complessa. Introduzione sui numeri complessi. Serie di potenze nel campo complesso: proprietà. Olomorfia: equazioni di Cauchy-Riemann. Il teorema di Cauchy: il caso dei triangoli. La nozione di semplice connessione: versione generale del teorema di Cauchy. Criterio di integrabilità delle forme chiuse in domini semplicemente connessi. Prolungamento analitico. Il logaritmo e la polidromia. Il criterio di Dirichlet e comportamento dell’elemento analitico relativo al logaritmo di punto iniziale uno sulla frontiera del cerchio di convergenza. Le funzioni elementari nel campo complesso. Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teoremi di Goursat e Morera. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell’Algebra. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione dei punti singolari isolati. Il teorema di Casorati-Weierstrass. Il teorema dei residui. Zeri di una funzione olomorfa. Formula dell’indicatore logaritmico. Proprietà di media e principio del massimo modulo. I lemmi di Jordan: calcolo di integrali di funzioni a valori reali. Bibliografia di riferimento: ——N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima Parte, Zanichelli, 2018; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda Parte, Zanichelli, 2018; —Marco Codegone, Luca Lussardi, Metodi matematici per l’ingegneria (seconda edizione), Zanichelli, 2021; —Giulio Cesare Barozzi, Matematica per l'ingegneria dell’informazione, Zanichelli, 2005. Ulteriori testi: —M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009; —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2 (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Ed., 2003;

Programma del corso di Analisi Matematica 2 A.A. 2024/25 Prof. Giuseppe Floridia (versione provvisoria aggiornata al 23/09/2024) Spazi euclidei a n dimensioni. Proprietà dello spazio R^n e definizioni di distanza (o metrica), di norma e di prodotto scalare. Cenni di topologia di R^n: intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi limitati, insiemi compatti, aperti connessi. Richiami di geometria euclidea e analitica nel piano e nello spazio: parallelismo e perpendicolarità fra vettori, rette e piani; equazioni cartesiane di cilindro, sfera, ellissoide, cono e paraboloide.  Curve parametriche. Motivazione fisica, definizione di curva in R^n, curve semplici, chiuse, di classe C^1, regolari e regolari a tratti; versore e retta tangente a una curva in un punto. Orientamento di una curva, cambiamento di parametro ammissibile e curve equivalenti. Lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve di classe C^1. Esempi notevoli di curve. Introduzione alle funzioni reali di n variabili reali. Insieme di definizione e grafico di una funzione. Limiti di funzioni: definizioni, proprietà, metodi per il calcolo dei limiti nel caso di forme indeterminate mediante l’uso della condizione necessaria per l’esistenza di un limite data dal test su curve, e della condizione sufficiente mediante maggiorazioni. Funzioni continue: definizione e proprietà. Massimi e minimi assoluti, teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni reali di n variabili reali. Derivate parziali: definizione, proprietà e nozione di vettore gradiente. Derivate direzionali, direzioni di massima e di minima pendenza. Esempi di funzioni derivabili ma non continue (nel caso n>1) e di funzioni dotate di derivate direzionali in qualsiasi direzione ma non continue. Differenziabilità: definizione, significato geometrico, equazione del piano tangente, continuità delle funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte e formula del gradiente per la rappresentazione della derivata direzionale di una funzione differenziabile. Derivate di ordine successivo: definizioni, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Ottimizzazione per funzioni reali di n variabili reali. Estremi relativi e assoluti: condizione necessaria del primo ordine (teorema di Fermat) per gli estremi relativi, algoritmo per la determinazione del massimo e del minimo assoluto di una funzione di 2 variabili reali continua su un compatto. Condizione sufficiente e condizione necessaria del secondo ordine per i massimi e i minimi relativi per funzioni di 2 variabili reali: enunciati, procedura per la classificazione dei punti critici, studio dei casi “dubbi” in cui si ha il determinante della matrice hessiana nullo ed esempi notevoli. Cenni all’ottimizzazione per funzioni di 3 e più variabili reali. Integrali multipli. Domini normali nel piano: definizioni, misura e proprietà. Integrali doppi: introduzione, definizione, significato geometrico e proprietà notevoli. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e il caso delle coordinate polari. Esempi notevoli e l’integrazione di funzioni simmetriche o antisimmetriche rispetto ad una variabile in domini piani simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Baricentro di domini piani. Integrali tripli. Formule di integrazione per fili o per strati.  Cambiamento di variabili negli integrali tripli: il caso delle coordinate cilindriche e sferiche. Baricentri, momenti di inerzia, massa di un corpo. Forme differenziali lineari, campi vettoriali e integrali curvilinei. Integrale curvilineo di una funzione (int. curv. di prima specie): definizione e proprietà. Definizione di Forma Differenziale Lineare (FDL) esatta e caratterizzazione delle primitive di una FDL esatta su un connesso. Campi vettoriali conservativi, terminologia, motivazione fisica per le FDL, lavoro di un campo vettoriale ed esempi notevoli. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (int. curv. di seconda specie). Caratterizzazione delle FDL esatte. FDL di classe C^1 chiuse: rotore e campi irrotazionali. Tecniche per il calcolo delle primitive. FDL chiuse in aperti semplicemente connessi nel piano (solo cenni a dimensioni maggiori di 2). Locale esattezza di una forma chiusa. Complementi sull’integrazione e superfici regolari. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e di Stokes nel piano. Integrali superficiali di funzioni. Baricentri, momenti di inerzia, massa di una superficie. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Flussi di campi vettoriali attraverso superfici. Teorema della divergenza in R^3 senza dimostrazione. Superfici regolari con bordo. Teorema di Stokes in R^3 senza dimostrazione. Successioni e serie di funzioni.   Convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale per le serie di funzioni. Continuità della funzione limite di una successione o della somma di una serie. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze e serie di Taylor. Funzioni analitiche. Serie trigonometriche e sere di Fourier. Analisi Complessa. Introduzione sui numeri complessi. Serie di potenze nel campo complesso: proprietà. Olomorfia: equazioni di Cauchy-Riemann. Il teorema di Cauchy: il caso dei triangoli. La nozione di semplice connessione: versione generale del teorema di Cauchy. Criterio di integrabilità delle forme chiuse in domini semplicemente connessi. Prolungamento analitico. Il logaritmo e la polidromia. Il criterio di Dirichlet e comportamento dell’elemento analitico relativo al logaritmo di punto iniziale uno sulla frontiera del cerchio di convergenza. Le funzioni elementari nel campo complesso. Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teoremi di Goursat e Morera. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell’Algebra. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione dei punti singolari isolati. Il teorema di Casorati-Weierstrass. Il teorema dei residui. Zeri di una funzione olomorfa. Formula dell’indicatore logaritmico. Proprietà di media e principio del massimo modulo. I lemmi di Jordan: calcolo di integrali di funzioni a valori reali. Bibliografia di riferimento: ——N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima Parte, Zanichelli, 2018; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda Parte, Zanichelli, 2018; —Marco Codegone, Luca Lussardi, Metodi matematici per l’ingegneria (seconda edizione), Zanichelli, 2021; —Giulio Cesare Barozzi, Matematica per l'ingegneria dell’informazione, Zanichelli, 2005. Ulteriori testi: —M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009; —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2 (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Ed., 2003;

Programma del corso di Analisi Matematica 2 A.A. 2024/25 Prof. Giuseppe Floridia (versione provvisoria aggiornata al 23/09/2024) Spazi euclidei a n dimensioni. Proprietà dello spazio R^n e definizioni di distanza (o metrica), di norma e di prodotto scalare. Cenni di topologia di R^n: intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi limitati, insiemi compatti, aperti connessi. Richiami di geometria euclidea e analitica nel piano e nello spazio: parallelismo e perpendicolarità fra vettori, rette e piani; equazioni cartesiane di cilindro, sfera, ellissoide, cono e paraboloide.  Curve parametriche. Motivazione fisica, definizione di curva in R^n, curve semplici, chiuse, di classe C^1, regolari e regolari a tratti; versore e retta tangente a una curva in un punto. Orientamento di una curva, cambiamento di parametro ammissibile e curve equivalenti. Lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve di classe C^1. Esempi notevoli di curve. Introduzione alle funzioni reali di n variabili reali. Insieme di definizione e grafico di una funzione. Limiti di funzioni: definizioni, proprietà, metodi per il calcolo dei limiti nel caso di forme indeterminate mediante l’uso della condizione necessaria per l’esistenza di un limite data dal test su curve, e della condizione sufficiente mediante maggiorazioni. Funzioni continue: definizione e proprietà. Massimi e minimi assoluti, teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni reali di n variabili reali. Derivate parziali: definizione, proprietà e nozione di vettore gradiente. Derivate direzionali, direzioni di massima e di minima pendenza. Esempi di funzioni derivabili ma non continue (nel caso n>1) e di funzioni dotate di derivate direzionali in qualsiasi direzione ma non continue. Differenziabilità: definizione, significato geometrico, equazione del piano tangente, continuità delle funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte e formula del gradiente per la rappresentazione della derivata direzionale di una funzione differenziabile. Derivate di ordine successivo: definizioni, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Ottimizzazione per funzioni reali di n variabili reali. Estremi relativi e assoluti: condizione necessaria del primo ordine (teorema di Fermat) per gli estremi relativi, algoritmo per la determinazione del massimo e del minimo assoluto di una funzione di 2 variabili reali continua su un compatto. Condizione sufficiente e condizione necessaria del secondo ordine per i massimi e i minimi relativi per funzioni di 2 variabili reali: enunciati, procedura per la classificazione dei punti critici, studio dei casi “dubbi” in cui si ha il determinante della matrice hessiana nullo ed esempi notevoli. Cenni all’ottimizzazione per funzioni di 3 e più variabili reali. Integrali multipli. Domini normali nel piano: definizioni, misura e proprietà. Integrali doppi: introduzione, definizione, significato geometrico e proprietà notevoli. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e il caso delle coordinate polari. Esempi notevoli e l’integrazione di funzioni simmetriche o antisimmetriche rispetto ad una variabile in domini piani simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Baricentro di domini piani. Integrali tripli. Formule di integrazione per fili o per strati.  Cambiamento di variabili negli integrali tripli: il caso delle coordinate cilindriche e sferiche. Baricentri, momenti di inerzia, massa di un corpo. Forme differenziali lineari, campi vettoriali e integrali curvilinei. Integrale curvilineo di una funzione (int. curv. di prima specie): definizione e proprietà. Definizione di Forma Differenziale Lineare (FDL) esatta e caratterizzazione delle primitive di una FDL esatta su un connesso. Campi vettoriali conservativi, terminologia, motivazione fisica per le FDL, lavoro di un campo vettoriale ed esempi notevoli. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (int. curv. di seconda specie). Caratterizzazione delle FDL esatte. FDL di classe C^1 chiuse: rotore e campi irrotazionali. Tecniche per il calcolo delle primitive. FDL chiuse in aperti semplicemente connessi nel piano (solo cenni a dimensioni maggiori di 2). Locale esattezza di una forma chiusa. Complementi sull’integrazione e superfici regolari. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e di Stokes nel piano. Integrali superficiali di funzioni. Baricentri, momenti di inerzia, massa di una superficie. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Flussi di campi vettoriali attraverso superfici. Teorema della divergenza in R^3 senza dimostrazione. Superfici regolari con bordo. Teorema di Stokes in R^3 senza dimostrazione. Successioni e serie di funzioni.   Convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale per le serie di funzioni. Continuità della funzione limite di una successione o della somma di una serie. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata per successioni e serie di funzioni. Serie di potenze e serie di Taylor. Funzioni analitiche. Serie trigonometriche e sere di Fourier. Analisi Complessa. Introduzione sui numeri complessi. Serie di potenze nel campo complesso: proprietà. Olomorfia: equazioni di Cauchy-Riemann. Il teorema di Cauchy: il caso dei triangoli. La nozione di semplice connessione: versione generale del teorema di Cauchy. Criterio di integrabilità delle forme chiuse in domini semplicemente connessi. Prolungamento analitico. Il logaritmo e la polidromia. Il criterio di Dirichlet e comportamento dell’elemento analitico relativo al logaritmo di punto iniziale uno sulla frontiera del cerchio di convergenza. Le funzioni elementari nel campo complesso. Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Teoremi di Goursat e Morera. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell’Algebra. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione dei punti singolari isolati. Il teorema di Casorati-Weierstrass. Il teorema dei residui. Zeri di una funzione olomorfa. Formula dell’indicatore logaritmico. Proprietà di media e principio del massimo modulo. I lemmi di Jordan: calcolo di integrali di funzioni a valori reali. Bibliografia di riferimento: ——N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima Parte, Zanichelli, 2018; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda Parte, Zanichelli, 2018; —Marco Codegone, Luca Lussardi, Metodi matematici per l’ingegneria (seconda edizione), Zanichelli, 2021; —Giulio Cesare Barozzi, Matematica per l'ingegneria dell’informazione, Zanichelli, 2005. Ulteriori testi: —M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009; —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2 (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Ed., 2003;