Informatica

Introduzione alla teoria della probabilità. (1 h) Assiomi e regole di corrispondenza. (2h) - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. (3 h) - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione (3h) . Coefficienti binomiali e multinomiali. (3h) - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. (4h) - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti (2h). Schemi di Bernoulli. (1h) - Distribuzione binomiale (1h), multinomiale (1h) e ipergeometrica (1h). - Probabilità condizionate (2h). Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes (3h). - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità (2h). - Numeri di occupazione: modelli Multinomiale, di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac (4h) - Variabili aleatorie discrete: distribuzione (2h), valore atteso (2h), varianza (2h) e covarianza (1h). - Variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (2h) . - Variabili aleatorie Ipergeometriche (1h) - Variabile geometrica (2h) e sua perdita di memoria(1h), variabile binomiale negativa (1h). - Somma di variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabile di Poisson (1h) come limite di binomiali (1h). - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate (4h). - Trasformazioni di variabili aleatorie discrete (2h) - Somme aleatorie di variabili aleatorie indipendenti (2h) - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri (4h). - Valore atteso condizionato (4h). - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza (4h). - Variabile aleatoria uniforme (2h). Rappresentazione di Skorohod: simulazione a partire da variabili uniformi (1h). - Variabile esponenziale come limite di geometriche (2h). - Variabili aleatorie gaussiane (2h). - Trasformazioni di variabili aleatorie continue (1h) - Approssimazione Normale e Teorema Centrale del Limite (senza dimostrazione) (2h). - Catene di Markov e probabilità di transizione. Distribuzioni stazionarie. Teorema ergodico (senza dimostrazione)

Teoria elementare degli insiemi (importante); serie di uso comune (molto utile); calcolo di base in una e più variabili (indispensabile).

F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle si consiglia anche S. M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Education (disponibile in rete in inglese).

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione del compito e dei temi più rilevanti illustrati nel corso). Se si supera la prova scritta (ottenendo almeno 18/30) si viene ammessi alla prova orale. (ulteriori informazioni nella pagina e-learning/moodle del corso) Qualora le condizioni sanitarie lo rendano necessario, la prova scritta, o parte di esse, potrebbe essere sostituita da esercizi da svolgere a casa e da discutere all’esame orale. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Il voto viene valutato per il 50% con il voto dello scritto e per il 50% con il voto dell'orale. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Berger, Caravenna, Dai Pra: Probabilità (Springer) per gli studenti della Sapienza un file pdf è disponibile gratuitamente on line https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-4006-9

Lezioni (Hours): 54, Esericizi (Hours): 36.

- Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore di attesa, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore di attesa condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore di attesa e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohood. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.

Familiarita' con teoria degli Insiemi e calcolo di base, integrali elementari.

S.M. Ross, Calcolo delle Probabilità Apogeo

In presenza

La presenza non e' obbligatoria ma fortemente consigliata.

Esame scritto ed eventualmente esame orale

S.M. Ross, Calcolo delle Probabilità Apogeo F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer)

Lezioni ed esercitazioni frontali