Fisica

Meccanica Statistica e Termodinamica Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica. Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincaré e definizione di equilibrio termodinamico. Variabili Estensive ed Intensive. Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici. Equilibrio e Trasformazioni reversibili. Lavoro, Calore ed Entropia. Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica. Ensemble statistici. Teorema di Liouville. Ensemble Microcanonico. Ipotesi Ergodica. Traiettorie e volume della regione del moto. Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalità. Integrazione di picco e Formula di Stirling. Richiami di Teoria della Probabilità Probabilità e statistica. Definizione generale di probabilità, spazio di probabilità. Eventi indipendenti. Probabilità condizionata. Legge della probabilità completa. Variabili aleatorie discrete e continue. Distribuzione di probabilità e densità di probabilità di una o più variabili. Marginalizzazione, distribuzione di probabilità condizionata, medie. Trasformazione di variabili aleatorie. Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare. Distribuzione di probabilità Binomiale. Distribuzione di probabilità di Poisson. Densità di probabilità Gaussiana in una e più variabili. Trasformata di Fourier della densità di probabilità Gaussiana e rappresentazione integrale della delta di Dirac. Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilità: distribuzione Gaussiana e suoi momenti. Legge dei grandi numeri. Cumumanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti. Teorema centrale del limite . Meccanica Statistica: regole di calcolo Valore medio e distribuzione di probabilità delle variabili macroscopiche. Richiami sui potenziali termodinamici. Sottosistemi e condizioni di equilibrio. Distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Teorema di equipartizione e teorema del viriale. Entropia gas perfetto. Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode. Equazione Barometrica gas perfetto. Gas perfetto di oscillatori armonici. Gas perfetto di particelle classiche relativistiche. Regola a temperatura costante: Ensemble canonico. Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble (T,p). Fluttuazioni di energia nell'ensemble canonico. Teorema di equipartizione nell'ensemble canonico. Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico. Fluttuazioni di densità. Gas classico interagente, espansione del viriale. Meccanica Statistica Quantistica Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica). Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica. Operatore matrice densità. Ensemble Quantistici. Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi. Numeri di occupazione e funzioni di stato dei gas ideali quantistici. Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densità ed alta temperatura. Gas di Fermi: limite di alta densità e bassa temperatura, energia di Fermi. Gas di Bose: limite di alta densità e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein. Gas di oscillatori armonici quantistici (fononi) : modelli di Einstein e di Debye. Il corpo nero.

a) E` indispensabile conoscere i concetti base: i) della meccanica classica e della meccanica analitica (in particolare il formalismo Hamiltoniano); ii) della teoria della probabilità; iii) della termodinamica come variabili termodinamiche, funzioni di stato (energia interna, entropia, energia libera); iv) della meccanica quantistica (in particolare, di stato quantistico, di livelli energetici); v) della descrizione della particella libera ed dell’oscillatore armonico quantistici. b) E` importante avere familiarità con le principali distribuzioni di probabilità (Gaussiana, Poissoniana, Binomiale, etc.) e di esempi di fenomeni fisici che sono regolati da queste distribuzioni; conoscere le basi dell’analisi matematica e della teoria delle distribuzioni (p. es. la delta di Dirac).

1) Meccanica Statistica, K. Huang, Zanichelli (1997) 2) Fisica Statistica - parte prima, L. D. Landau, E. M. Lifshits, L. P. Pitaevskij, Editori Riuniti (1978)

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna. Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori. Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà. Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.

Gli studenti beneficeranno del confronto diretto con il docente e della possibilità di discutere idee e metodologie con i colleghi. La successione degli argomenti sviluppati, gli esercizi svolti, e il materiale di supporto, saranno resi disponibili sul sito del docente https://www2.phys.uniroma1.it/doc/caprara/SCaprara/sergio-caprara-MS.html

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. Nella prova scritta (di durata compresa tra 2.5 e 3 ore) si vuole verificare la capacità dello studente/della studentessa di risolvere problemi di meccanica statistica classica e quantistica del tipo di quelli svolti in aula durante le esercitazioni. Il colloquio orale, solitamente della durata di 30-40 minuti, verte sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso. Nella valutazione si tiene conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria; - attitudine nel problem solving (metodo e risultati).

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna. Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori. Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà. Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.

Richiami di termodinamica e meccanica classica Teorema di Liouville, ipotesi ergodica e ensemble microcanonico, postulato fondamentale della meccanica statistica Elementi di calcolo della probabilita' (assiomi, proprieta', esempi di distribuzioni notevoli) Ensemble microcanonico: additivita' entropia, teorema equipartizione, gas ideale classico. Riflessioni su concetto di entropia (paradosso di Gibbs, entropia come ignoranza, irreversibilita') Ensemble canonico: funzione di partizione, energia libera di Helmholtz, densita' di probabilita' dell'energia. Oscillatore armonico classico - relazione barometrica - gas di particelle relativistiche Relazioni di fluttuazione-dissipazione e equivalenza tra insieme canonico e microcanonico Gas perfetto. Equipartizione dell'energia. Statistica di Maxwell Boltzmann; condizioni di validita` della meccanica statistica classica. Distribuzione di Maxwell; Insieme gran canonico. Il gran potenziale. Funzioni termodinamiche nell' insieme gran canonico. Equivalenza insieme canonico e gran canonico Gas quantistici. Distribuzioni di Fermi-Dirac e di Bose-Einstein. Limite classico: alte temperature e/o basse densità. Gas di Fermi allo zero assoluto: energia di Fermi, energia media, pressione. Calore specifico di un gas di Fermi alle basse temperature. Condensazione di un gas di Bose-Einstein. Vibrazioni nei solidi, modello di Debye Spettro del corpo nero. Formula di Planck.

Termodinamica

Statistical Mechanics di Kerson Huang, Wiley Statistical Physics by Roberto Piazza Springer S-K Ma, Statistical Mechanics, World Scientific, Singapore (1985)

in classe

Valutazione della capacita' di risolvere problemi di meccanica statistica Valutazione della capacita' di comprendere gli argomenti del programma

Meccanica Statistica e Termodinamica Introduzione: Meccanica Statistica e Termodinamica Invarianza per inversione temporale, teorema di Poincaré e definizione di equilibrio termodinamico. Variabili Estensive ed Intensive. Spazio delle Fasi, regione del moto ed osservabili termodinamici. Equilibrio e Trasformazioni reversibili Lavoro, Calore ed Entropia Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Ensemble statistici Teorema di Liouville Ensemble Microcanonico Ipotesi Ergodica Traiettorie e volume della regione del moto Lunghezze e volumi in spazi ad alta dimensionalita' Integrazione di picco e Formula di Stirling Richiami di Teoria della Probabilita' Probabilita' e statistica Definizione generale di probabilita', spazio di probabilita' Eventi indipendenti Probabilita' condizionata Legge della probabilita' completa Variabili aleatorie discrete e continue Distribuzione di probabilita' e densita' di probabilita' di una o pi� variabili Marginalizzazione, distribuzione di probabilita' condizionata, medie Trasformazione di variabili aleatorie Somma di due variabili aleatorie, cambio di variabile, trasformazione lineare Distribuzione di probabilita' Binomiale Distribuzione di probabilita' di Poisson Densita' di probabilita' Gaussiana in una e pi� variabili Trasformata di Fourier della densita' di probabilita' Gaussiana e rappresentazione integrale della delta di Dirac Funzione generatrice dei momenti, o funzione caratteristica, di una distribuzione di probabilita': distribuzione Gaussiana e suoi momenti Legge dei grandi numeri Cumumanti di una distribuzione e funzione generatrice: distribuzione Gaussiana e suoi cumulanti Teorema del limite centrale Meccanica Statistica: regole di calcolo Valore medio e distribuzione di probabilita' delle variabili macroscopiche Richiami sui potenziali termodinamici Sottosistemi e condizioni di equilibrio Distribuzione di Maxwell-Boltzmann Teorema di equipartizione e teorema del viriale Entropia gas perfetto Paradosso di Gibbs e equazione di Sackur-Tetrode Equazione Barometrica gas perfetto Gas perfetto di oscillatori armonici Gas perfetto di particelle classiche relativistiche Regola a temperatura costante: Ensemble canonico Regola a temperatura e pressione costante: Ensemble (T,p) Fluttuazioni di energia nell'ensemble canonico Teorema di equipartizione nell'ensemble canonico Regola per sistemi aperti a temperatura costante: Ensemble gran canonico Fluttuazioni di densita' Gas classico interagente, espansione del viriale Cenni sul modello di Ising (campo medio) Meccanica Statistica Quantistica Postulato di Nernst (Terzo principio della termodinamica) Postulato Fondamentale della Meccanica Statistica Quantisitica Operatore matrice densità Ensemble Quantistici Gas Ideali quantistici: Bose e Fermi Numeri di occupazione e funzioni di stato dei gas ideali quantistici Gas di Fermi/Bose: limite di bassa densita' ed alta temperatura Gas di Fermi: limite di alta densita' e bassa temperatura, energia di Fermi Gas di Bose: limite di alta densita' e bassa temperatura, condensazione di Bose-Einstein. Gas di oscillatori armonici quantistici (fononi) : modelli di Einstein e di Debye Il corpo nero

a) E’ indispenzabile conoscere i concetti base: i) della meccanica classica e della meccanica analitica (in particolare il formalismo Hamiltoniano); ii) di teoria della probabilità; iii) di termodinamica come variabili termodinamiche, funzioni di stato (energia interna, entropia, energia libera); iv) di meccanica quantistica (in particolare di stato quantistico, di livelli energetici; v) particella libera ed oscillatore armonico quantistici b) E’ importante avere familiarità con le principali distribuzioni di probabilità (Gaussiana, Poissoniana, Binomiale, etc.) e di esempi di fenomeni fisici che sono regolati da queste distribuzioni; conoscere le basi dell’analisi matematica e della teoria delle distribuzioni (p. es. la delta di Dirac).

- K. Huang (H), "Statistical Mechanics", (Wiley, 1987) - L.D. Landau e E.M. Lifsits (LL), "Fisica Statistica" (parte I), (Editori Riuniti, 1978) - J. Sethna: "Statistical Mechanics: entropy, order parameters and complexity" (Oxford Un. Press, 2006) - S-K Ma, Statistical Mechanics, World Scientific, Singapore (1985)

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna. Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori. Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà. Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.

Gli studenti frequenteranno le lezioni su base facoltativa, anche se raccomandata soprattutto in relazione allo svolgimento dei problemi e degli esercizi in aula.

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. Nella prova scritta (di durata compresa tra 2.5 e 3 ore) si vuole verificare la capacità dello studente/della studentessa di risolvere problemi di meccanica statistica classica e quantistica del tipo di quelli svolti in aula durante le esercitazioni. Il colloquio orale, solitamente della durata di 30-40 minuti, verte sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso. Nella valutazione si tiene conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria; - attitudine nel problem solving (metodo e risultati).

Dettagli su quale argomento viene presentato in modo più simile a uno dei due testi verrano dati a lezione e appaiono regolarmente nel resoconto quotidiano delle lezioni che appare nel sito del docente. https://sites.google.com/uniroma1.it/irene-giardina/teaching/meccanica-statistica

Lezioni frontali ed esercitazioni svolte alla lavagna. Le lezioni serviranno ad introdurre e spiegare i vari concetti si di base che accessori. Le esercitazioni servono al duplice scopo di chiarire ed esemplificare i concetti trattati a lezione e a far acquisire agli studenti la capacità di risolvere autonomamente problemi di diversi livelli di difficoltà. Lezioni ed esercitazioni sono strettamente interconnessi e non ci sarà una specifica e precisa separazione oraria tra le due modalità.