Physics - Fisica

Il corso segue principalmente il testo di Giorgio Parisi, Statistical Field Theory, Perseus Books Publishing 1998. Alcuni argomenti sono invece trattati sul testo di Claude Itzykson e Jean-Michel Drouffe, Statistical Field Theory, Cambridge University Press 1989. PROGRAMMA SINTETICO 1. Meccanica Statistica di Equilibrio, Parisi capitolo 1. 2. Sistemi Magnetici. Parisi capitolo 2. 3. Il Modello di Ising. Parisi capitolo 3. Capitolo 3.6 escluso. 4. Le espansioni di alta e di bassa temperatura. Parisi capitolo 4. Capitoli 4.3 e 4.7 esclusi. Chapter 4.6 solo cenni. 5. Il Modello di Landau Ginsburg. Parisi capitolo 5. Chapter 5.6 and Appendix only hints, no chapters 5.7 e 5.8. 6. Vicino alla transizione. Parisi capitolo 6. 7. Calcolo perturbativo degli esponenti critici. Parisi capitolo 8. 8.3 hints, no 8.4, 8.5 hints. 8. Vicino a 3 dimensioni. Parisi chapter 9. no 9.3 and 9.5. Capitolo 9.4 only hints. 9. La rottura spontanea di simmetria. Parisi capitolo 10. No 10.4 and 10.5. 10. Leggi di scala e gruppo di rinormalizzazione nello spazio reale. Itzykson-Drouffe vol. 1, capitolo 4.1 (up to equation 94 included). PROGRAMMA PIU' DETTAGLIATO 1. PARISI CAP. 1. Dalla termodinamica alla meccanica statistica. La distribuzione di Boltzmann. Ensemble canonico e microcanonico. L'entropia: distribuzioni continue e distribuzioni discrete. Il teorema di Shannon. I principi estremali (mediante i moltiplicatori di Lagrange): Boltzmann con minimo dell'entropia a energia fissata o come massimo della energia libera. F = -T log Z, S = beta**2 * @F/@beta (con @ indico una derivata parziale), U = -@/@beta log Z. beta definita in meccanica statistica e' proporzionale all'inverso della temperatura definita in termodinamica. Cenni alla derivazione funzionale. 2. PARISI CAP. 2. Sistemi magnetici e transizioni di fase. Definizioni rilevanti (hamiltoniana, magnetizzazione, suscettibilita'; campo magnetico costante e campo magnetico che dipende dal sito). Funzioni di correlazioni e funzioni di correlazione connesse. Fluttuazioni termodinamiche. Il teorema di fluttuazione e dissipazione. Rottura spontanea di simmetria. Limite di volume infinito. Singolarita' a campo magnetico nullo. Modello di Ising. Gap della magnetizzazione per h vicino a zero sotto la temperatura critica. Gli zeri della funzione di partizione. Il criterio di Ehrenfest. Il ruolo delle condizioni al bordo e del volume finito. L'evoluzione temporale, e la magnetizzazione come funzione del tempo. Gli stati puri e le miscele statistiche. Lo stato "+" e lo stato "-": campo magnetico infinitesimo o condizioni al bordo. La proprieta' di clustering. Gli stati puri sono clustering. 3. PARISI CAP. 3, 3.6 ESCLUSO. Il modello di Ising. Universalita' e costruzione dei modelli fisici. Hamiltoniana per Ising, XY, Heisenberg. Ferromagneti e antiferromagneti. L'approssimazione di campo medio. Probabilita' fattorizzate. Soluzione. Di nuovo il campo medio attraverso una identita' esatta e poi una approssimazione (approccio DLR. Dobrushin, Lanford, Ruelle). Discussione dettagliata della soluzione del campo medio, in campo magnetico nullo e non nullo, per temperature sopra e sotto Tc. Massimi e minimi della energia libera. Sviluppi vicino a Tc e vicino a T=0. Stati metastabili, Esponenti critici. beta, gamma, delta. Transizione di fase del secondo ordine e del primo ordine. Un modello risolubile esattamente: forze deboli a lungo raggio: di nuovo il campo medio. Correlazioni deboli. Quando la soluzione di campo medio descrive bene un sistema? Calcolo della dimensione critica superiore per il modello di Ising, Dc=4: risposta lineare, nuova stima delle funzioni di correlazione, spazio dei momenti, il propagatore. Calcolo del calore specifico: comportamento sopra e sotto D=4. decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature. Per TTc -- 0 quando D tende a infinito come una potenza di 1/D (funzioni di Bessel modificate e loro espansione). Il decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature grazie a un teorema sul comportamento delle funzioni analitiche. Esponente critico nu. Isotropia vicino a Tc. La lunghezza di correlazione xi. Il gap in magnetizzazione e la lunghezza di correlazione: quando il gap tende a zero xi tende a infinito. Al Tc due soluzioni si fondono in una, e questo implica che la suscettibilita' diverge. Un primo riassunto degli esponenti critici. 4, PARISI CAP.4, ESCLUSO 4.3 E 4.7, CENNI 4.6. Il modello Gaussiano e il modello di Ising: espansioni di bassa e di alta temperatura. Espansione di bassa temperatura per Ising. Calcolo di Z con i primi due contributi. La cancellazione dei termini piu' che estensivi. Conseguenze generali dell'indipendenza della densita' di energia libera da N nei sistemi a corto raggio. Cluster connessi e risommazione dei loro contributi. Il modello Gaussiano e l'espansione di alta temperatura. Definizione del modello Gaussiano. Calcolo algebrico. Riappare il campo medio. Utili identita' matriciali: det(A)= exp(tr(log(A))), d/dz log (A+z) = 1/(A+z). Le funzioni di correlazione a piu' punti (4, 6). Contributi connessi e disconnessi. La definizione generale, a tutti gli ordini delle funzioni di correlazione connesse. Legame con l'energia libera e proprieta' di clustering. Lo sviluppo diagrammatico nello sviluppo di alte T del modello Gaussiano. Funzione di correlazione a due punti. Cancellazione dei diagrammi disconnessi. L'esempio del diagramma a "quadratino" o a "plaquette" (di ordine beta alla quarta). L'espansione di alta temperatura per il modello di Ising. Relazioni fondamentali per variabili binarie. Espansione in caratteri (exp(beta s)=c*(1+t*s) se s=+-1, c=cosh(beta) e t=tanh(beta)). La densita' di energia libera al primo ordine non banale. Cenni alle espansioni ad alti ordini. La struttura della singolarita' e il comportamento asintotico. Le soluzioni esatte (D=1 e la matrice di trasferimento in dettaglio, Onsager in D=2 solo cenni). 5. PARISI CAP. 5 CENNI 5.6 E APPENDICI, ESCLUSI 5.7 E 5.8. La teoria di Landau-Ginzburg e la teoria delle perturbazioni. Da Ising al modello Gaussiano a Landau-Ginzburg. L'Hamiltoniana continua, e la struttura dei suoi minimi. L'Hamiltoniana efficace. Il cutoff Lambda: rapporti con la spaziatura reticolare. Il ruolo della "massa quadra" mu. Regolarizzazione e cutoff nel modello gaussiano. L'energia libera e propagatora con spaziatura non zero e con il cutoff Lambda. La rimozione del cutoff e il limite a -- 0. Da H continua di nuovo al discreto. Le leggi di scala con a: analisi dimensionale. Costante di accoppiamento adimensionale. L'espansione perturbativa in g. La funzione di correlazione a due punti. Primo ordine in g. Calcolo di numeratore e denominatore. Sopravvivono solo i diagrammi connessi: vero in generale. Secondo ordine in g. Le possibile contrazioni. L'hamburger, i due girini e il cactus, con le loro molteplicita'. La simmetria nelle variabili di integrazione. Le regole generali dello sviluppo perturbativo. Lo scambio delle linee interne. Una utilissima regola di somma. Come calcolare nello spazio di Fourier. Gli integrali dei diagrammi ai primi due ordini in g. Le regole generali del calcolo nello spazio di Fourier. I diagrammi irriducibili a una particella (1PI). Come effettuare delle sensate risommazioni parziali. I diagrammi amputati. La risommazione dei girini, e di diagrammi piu' complicati. La rappresentazione grafica della risommazione. mu_c, il punto critico. La funzione di correlazione a 4 punti: 1) diagrammi completamente disconnessi, 2) prodotti di correlazioni a 2 punti e 3) diagrammi completamente connessi. Primo ordine. La conservazione del momento nel vertice. Calcoli nello spazio di Fourier. Secondo ordine e ordini piu' alti. La manipolazione degli integrali nello spazio dei momenti. I parametri di Feynman. Le divergenze ultraviolette/ Il grado di divergenza di un diagramma e di un sottodiagramma. Diagramma divergenti, superficialmente convergenti e convergenti. E+2N=4V. DIV=(D-4)L+4-E. D infinito. Le divergenze infrarosse. Espansione a mu_c come funzione di p. Esempi: la funzione a 4 punti con una e con piu' bolle. Esempio in D=3. L'espansione perturbativa sembra inutile. Hartree-Fock. Forma grafica e forma analitica. Il caso D=3. Il caso generale. gamma calcolato in HF. teorie con n gradi di liberta' interni. L'espansione 1/n. I campi ausiliari alfa. Regole diagrammatiche. Il limite n -- infinito coincide con HF. 7. PARISI CAP. 8. ESCLUSO 8.4 CENNI 8.3 e 8.5 Il gruppo di rinormalizzazione nello spazio dei momenti. Costante di accoppiamento effettiva adimensionale gtilde. I campi rinormalizzati. Una nuova costante di accoppiamento lambda e la mappa da g/m**(4-D) a lambda. L'esponente mu. L'espressione della serie perturbativa in funzione di lambda. La funzione beta, ed il suo comportamento come funzione di gtilde e come funzione di lambda. Il calcolo del valore di lambda critico. lambda e' m**(D-0 * Gamma4R. Tutti i calcoli dettagliati al primo ordine. Funzione a quattro punti. Valutazione di diagrammi, molteplicita', integrali nello spazio dei momenti. nu(1_loop) = 1/2 * 1/(1-(4-D)/6). (non e' stato svolto il calcolo per eta, solo quello per nu). Cenni al calcolo a due looop. 8. PARISI CAP. 9. ESCLUSI 9.3 e 9.5. CENNI 9.4. Quattro dimensioni e la epsilon expansion. Come dare un senso a una dimensione non intera. Coefficienti come polinomi in D. L'espansione in diagrammi di Feynman. Le funzioni di correlazione. Le equazioni del moto per Landau Ginzburg. La rinormalizzabilita'. Le divergenze ultraviolette. Definizione del valore rinormalizzato di un diagramma. Il teorema BHP. Definizione perturbativa della teoria. Le teorie rinormalizzabili, super rinormalizzabili e non rinormalizzabili. Icasi D=4 e D \sim x**(-(D-2)) per x che tende a infinito. Probelmi in D=2. Discussione del teorema di Mermin e Wagner (senza dimostrazione). Isng in una dimensione (n=1, D=1). I bosoni di Goldstone. Simmetrie continue, suscettivita' longitudinale e trasversale. Calcolo esplicito della suscettivita' per un campo magnetico nella direzione di una componente del vettore campo. (n-1) suscettibilita' trasverse divergono quando h tende a zero, in tutta la fase fredda. Teoria delle perturbazioni (senza i calcoli dettagliati, ma con la comprensione della struttura del propagatore). 11. ITZYKSON-DROUFFE, VOL. 1, CAP. 4.1. (FINO AL PARAGRAFO DELLA EQ. 94, ESCLUSO CIOE' IL CALCOLO CON LA REGOLA DI MAGGIORANZA IN H DIVERSO DA ZERO E IL CALCOLO RELATIVO ALLE AMPIEZZE CRITICHE). Relazioni di ricorrenza nello spazio reale. Come riscalare. a -- lambda a. L'esponente termico y_theta. nu = 1/y_theta. Regolarita' delle traiettorie del gruppo di rinormalizzazione. L'esponente magnetico y_h. Le relazioni fra esponenti critici in funzione di esponente termico e esponente magnetico. Gli "scaling fields" o campi scalanti. Il flusso degli accoppiamenti. Accoppiamenti rilevanti, irrilevanti e marginali. Il flusso del gruppo di rinormalizzazione. La varieta' critica. T ed h come parametri rilevanti. L'universalita'. Scaling delle funzioni di correlazione a n spin. Dimensioni dei campi nella teoria libera e nella teoria interagente. La dimensione anomala. Il modello di Potts a q stati. La decimazione unidimensionale esatta. La base ortonormale. La matrice di trasferimento. Calcolo esatto in D=1 per q stati. Il processo di decimazione esatta. Le leggi di scala vicino al punto critico. L'approssimazione di Migdal Kadanoff e lo spostamento dei legami. D1. Una utile diseguaglianza di convessita'. Lo spostamento dei legami paralleli e le relazioni di Migdal Kadanoff. Caso specifico q=2 (e cioe' Ising), D=2, lambda =2, con i calcoli dettagliati. Posizione del punto fisso e stima di nu. La dualita' e un calcolo di decimazione esatta: D=2, q=2, reticoli triangolare e esagonale. beta_c = 1/4 log(3). dualita': (exp(*beta_tilde)-1)*(exp(4*beta)-1)=4. La regola della maggioranza: 2D, reticolo triangolare, lambda = sqrt(3). Calcolo dettagliato della procedura di rinormalizzazione e dell'esponente nu.

Elementi di Meccanica Statistica. Una buona preparazione matematica di base (al livello dei corsi di matematica obbligatori nella laurea triennale in fisica).

G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998)

Corsi cattedratici ed esercitazioni.

La frequenza assidua e' consigliata.

L'esame consiste in un colloquio sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame la studentessa/lo studente deve essere in grado di presentare argomenti e ripetere i calcoli esposti e spiegati durante il corso. Alla/o studentessa/studente verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso. Nella valutazione si tiene conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria; - attitudine nella risoluzione di problemi (metodo e risultati).

G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998) Drouffe -Itzykson, Statistical Field Theory Leo Kadanoff - Statistical Physics Daniel Amit and Victor Martin Mayor - Field Theory

Corsi cattedratici ed esercitazioni.

Il corso segue principalmente il testo di Giorgio Parisi, Statistical Field Theory, Perseus Books Publishing 1998. Alcuni argomenti sono invece trattati sul testo di Claude Itzykson e Jean-Michel Drouffe, Statistical Field Theory, Cambridge University Press 1989. PROGRAMMA SINTETICO 1. Meccanica Statistica di Equilibrio, Parisi capitolo 1. 2. Sistemi Magnetici. Parisi capitolo 2. 3. Il Modello di Ising. Parisi capitolo 3. Capitolo 3.6 escluso. 4. Le espansioni di alta e di bassa temperatura. Parisi capitolo 4. Capitoli 4.3 e 4.7 esclusi. Chapter 4.6 solo cenni. 5. Il Modello di Landau Ginsburg. Parisi capitolo 5. Chapter 5.6 and Appendix only hints, no chapters 5.7 e 5.8. 6. Vicino alla transizione. Parisi capitolo 6. 7. Calcolo perturbativo degli esponenti critici. Parisi capitolo 8. 8.3 hints, no 8.4, 8.5 hints. 8. Vicino a 3 dimensioni. Parisi chapter 9. no 9.3 and 9.5. Capitolo 9.4 only hints. 9. La rottura spontanea di simmetria. Parisi capitolo 10. No 10.4 and 10.5. 10. Leggi di scala e gruppo di rinormalizzazione nello spazio reale. Itzykson-Drouffe vol. 1, capitolo 4.1 (up to equation 94 included). PROGRAMMA PIU' DETTAGLIATO 1. PARISI CAP. 1. Dalla termodinamica alla meccanica statistica. La distribuzione di Boltzmann. Ensemble canonico e microcanonico. L'entropia: distribuzioni continue e distribuzioni discrete. Il teorema di Shannon. I principi estremali (mediante i moltiplicatori di Lagrange): Boltzmann con minimo dell'entropia a energia fissata o come massimo della energia libera. F = -T log Z, S = beta**2 * @F/@beta (con @ indico una derivata parziale), U = -@/@beta log Z. beta definita in meccanica statistica e' proporzionale all'inverso della temperatura definita in termodinamica. Cenni alla derivazione funzionale. 2. PARISI CAP. 2. Sistemi magnetici e transizioni di fase. Definizioni rilevanti (hamiltoniana, magnetizzazione, suscettibilita'; campo magnetico costante e campo magnetico che dipende dal sito). Funzioni di correlazioni e funzioni di correlazione connesse. Fluttuazioni termodinamiche. Il teorema di fluttuazione e dissipazione. Rottura spontanea di simmetria. Limite di volume infinito. Singolarita' a campo magnetico nullo. Modello di Ising. Gap della magnetizzazione per h vicino a zero sotto la temperatura critica. Gli zeri della funzione di partizione. Il criterio di Ehrenfest. Il ruolo delle condizioni al bordo e del volume finito. L'evoluzione temporale, e la magnetizzazione come funzione del tempo. Gli stati puri e le miscele statistiche. Lo stato "+" e lo stato "-": campo magnetico infinitesimo o condizioni al bordo. La proprieta' di clustering. Gli stati puri sono clustering. 3. PARISI CAP. 3, 3.6 ESCLUSO. Il modello di Ising. Universalita' e costruzione dei modelli fisici. Hamiltoniana per Ising, XY, Heisenberg. Ferromagneti e antiferromagneti. L'approssimazione di campo medio. Probabilita' fattorizzate. Soluzione. Di nuovo il campo medio attraverso una identita' esatta e poi una approssimazione (approccio DLR. Dobrushin, Lanford, Ruelle). Discussione dettagliata della soluzione del campo medio, in campo magnetico nullo e non nullo, per temperature sopra e sotto Tc. Massimi e minimi della energia libera. Sviluppi vicino a Tc e vicino a T=0. Stati metastabili, Esponenti critici. beta, gamma, delta. Transizione di fase del secondo ordine e del primo ordine. Un modello risolubile esattamente: forze deboli a lungo raggio: di nuovo il campo medio. Correlazioni deboli. Quando la soluzione di campo medio descrive bene un sistema? Calcolo della dimensione critica superiore per il modello di Ising, Dc=4: risposta lineare, nuova stima delle funzioni di correlazione, spazio dei momenti, il propagatore. Calcolo del calore specifico: comportamento sopra e sotto D=4. decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature. Per TTc -- 0 quando D tende a infinito come una potenza di 1/D (funzioni di Bessel modificate e loro espansione). Il decadimento esponenziale delle funzioni di correlazione ad alte temperature grazie a un teorema sul comportamento delle funzioni analitiche. Esponente critico nu. Isotropia vicino a Tc. La lunghezza di correlazione xi. Il gap in magnetizzazione e la lunghezza di correlazione: quando il gap tende a zero xi tende a infinito. Al Tc due soluzioni si fondono in una, e questo implica che la suscettibilita' diverge. Un primo riassunto degli esponenti critici. 4, PARISI CAP.4, ESCLUSO 4.3 E 4.7, CENNI 4.6. Il modello Gaussiano e il modello di Ising: espansioni di bassa e di alta temperatura. Espansione di bassa temperatura per Ising. Calcolo di Z con i primi due contributi. La cancellazione dei termini piu' che estensivi. Conseguenze generali dell'indipendenza della densita' di energia libera da N nei sistemi a corto raggio. Cluster connessi e risommazione dei loro contributi. Il modello Gaussiano e l'espansione di alta temperatura. Definizione del modello Gaussiano. Calcolo algebrico. Riappare il campo medio. Utili identita' matriciali: det(A)= exp(tr(log(A))), d/dz log (A+z) = 1/(A+z). Le funzioni di correlazione a piu' punti (4, 6). Contributi connessi e disconnessi. La definizione generale, a tutti gli ordini delle funzioni di correlazione connesse. Legame con l'energia libera e proprieta' di clustering. Lo sviluppo diagrammatico nello sviluppo di alte T del modello Gaussiano. Funzione di correlazione a due punti. Cancellazione dei diagrammi disconnessi. L'esempio del diagramma a "quadratino" o a "plaquette" (di ordine beta alla quarta). L'espansione di alta temperatura per il modello di Ising. Relazioni fondamentali per variabili binarie. Espansione in caratteri (exp(beta s)=c*(1+t*s) se s=+-1, c=cosh(beta) e t=tanh(beta)). La densita' di energia libera al primo ordine non banale. Cenni alle espansioni ad alti ordini. La struttura della singolarita' e il comportamento asintotico. Le soluzioni esatte (D=1 e la matrice di trasferimento in dettaglio, Onsager in D=2 solo cenni). 5. PARISI CAP. 5 CENNI 5.6 E APPENDICI, ESCLUSI 5.7 E 5.8. La teoria di Landau-Ginzburg e la teoria delle perturbazioni. Da Ising al modello Gaussiano a Landau-Ginzburg. L'Hamiltoniana continua, e la struttura dei suoi minimi. L'Hamiltoniana efficace. Il cutoff Lambda: rapporti con la spaziatura reticolare. Il ruolo della "massa quadra" mu. Regolarizzazione e cutoff nel modello gaussiano. L'energia libera e propagatora con spaziatura non zero e con il cutoff Lambda. La rimozione del cutoff e il limite a -- 0. Da H continua di nuovo al discreto. Le leggi di scala con a: analisi dimensionale. Costante di accoppiamento adimensionale. L'espansione perturbativa in g. La funzione di correlazione a due punti. Primo ordine in g. Calcolo di numeratore e denominatore. Sopravvivono solo i diagrammi connessi: vero in generale. Secondo ordine in g. Le possibile contrazioni. L'hamburger, i due girini e il cactus, con le loro molteplicita'. La simmetria nelle variabili di integrazione. Le regole generali dello sviluppo perturbativo. Lo scambio delle linee interne. Una utilissima regola di somma. Come calcolare nello spazio di Fourier. Gli integrali dei diagrammi ai primi due ordini in g. Le regole generali del calcolo nello spazio di Fourier. I diagrammi irriducibili a una particella (1PI). Come effettuare delle sensate risommazioni parziali. I diagrammi amputati. La risommazione dei girini, e di diagrammi piu' complicati. La rappresentazione grafica della risommazione. mu_c, il punto critico. La funzione di correlazione a 4 punti: 1) diagrammi completamente disconnessi, 2) prodotti di correlazioni a 2 punti e 3) diagrammi completamente connessi. Primo ordine. La conservazione del momento nel vertice. Calcoli nello spazio di Fourier. Secondo ordine e ordini piu' alti. La manipolazione degli integrali nello spazio dei momenti. I parametri di Feynman. Le divergenze ultraviolette/ Il grado di divergenza di un diagramma e di un sottodiagramma. Diagramma divergenti, superficialmente convergenti e convergenti. E+2N=4V. DIV=(D-4)L+4-E. D infinito. Le divergenze infrarosse. Espansione a mu_c come funzione di p. Esempi: la funzione a 4 punti con una e con piu' bolle. Esempio in D=3. L'espansione perturbativa sembra inutile. Hartree-Fock. Forma grafica e forma analitica. Il caso D=3. Il caso generale. gamma calcolato in HF. teorie con n gradi di liberta' interni. L'espansione 1/n. I campi ausiliari alfa. Regole diagrammatiche. Il limite n -- infinito coincide con HF. 7. PARISI CAP. 8. ESCLUSO 8.4 CENNI 8.3 e 8.5 Il gruppo di rinormalizzazione nello spazio dei momenti. Costante di accoppiamento effettiva adimensionale gtilde. I campi rinormalizzati. Una nuova costante di accoppiamento lambda e la mappa da g/m**(4-D) a lambda. L'esponente mu. L'espressione della serie perturbativa in funzione di lambda. La funzione beta, ed il suo comportamento come funzione di gtilde e come funzione di lambda. Il calcolo del valore di lambda critico. lambda e' m**(D-0 * Gamma4R. Tutti i calcoli dettagliati al primo ordine. Funzione a quattro punti. Valutazione di diagrammi, molteplicita', integrali nello spazio dei momenti. nu(1_loop) = 1/2 * 1/(1-(4-D)/6). (non e' stato svolto il calcolo per eta, solo quello per nu). Cenni al calcolo a due looop. 8. PARISI CAP. 9. ESCLUSI 9.3 e 9.5. CENNI 9.4. Quattro dimensioni e la epsilon expansion. Come dare un senso a una dimensione non intera. Coefficienti come polinomi in D. L'espansione in diagrammi di Feynman. Le funzioni di correlazione. Le equazioni del moto per Landau Ginzburg. La rinormalizzabilita'. Le divergenze ultraviolette. Definizione del valore rinormalizzato di un diagramma. Il teorema BHP. Definizione perturbativa della teoria. Le teorie rinormalizzabili, super rinormalizzabili e non rinormalizzabili. Icasi D=4 e D \sim x**(-(D-2)) per x che tende a infinito. Probelmi in D=2. Discussione del teorema di Mermin e Wagner (senza dimostrazione). Isng in una dimensione (n=1, D=1). I bosoni di Goldstone. Simmetrie continue, suscettivita' longitudinale e trasversale. Calcolo esplicito della suscettivita' per un campo magnetico nella direzione di una componente del vettore campo. (n-1) suscettibilita' trasverse divergono quando h tende a zero, in tutta la fase fredda. Teoria delle perturbazioni (senza i calcoli dettagliati, ma con la comprensione della struttura del propagatore). 11. ITZYKSON-DROUFFE, VOL. 1, CAP. 4.1. (FINO AL PARAGRAFO DELLA EQ. 94, ESCLUSO CIOE' IL CALCOLO CON LA REGOLA DI MAGGIORANZA IN H DIVERSO DA ZERO E IL CALCOLO RELATIVO ALLE AMPIEZZE CRITICHE). Relazioni di ricorrenza nello spazio reale. Come riscalare. a -- lambda a. L'esponente termico y_theta. nu = 1/y_theta. Regolarita' delle traiettorie del gruppo di rinormalizzazione. L'esponente magnetico y_h. Le relazioni fra esponenti critici in funzione di esponente termico e esponente magnetico. Gli "scaling fields" o campi scalanti. Il flusso degli accoppiamenti. Accoppiamenti rilevanti, irrilevanti e marginali. Il flusso del gruppo di rinormalizzazione. La varieta' critica. T ed h come parametri rilevanti. L'universalita'. Scaling delle funzioni di correlazione a n spin. Dimensioni dei campi nella teoria libera e nella teoria interagente. La dimensione anomala. Il modello di Potts a q stati. La decimazione unidimensionale esatta. La base ortonormale. La matrice di trasferimento. Calcolo esatto in D=1 per q stati. Il processo di decimazione esatta. Le leggi di scala vicino al punto critico. L'approssimazione di Migdal Kadanoff e lo spostamento dei legami. D1. Una utile diseguaglianza di convessita'. Lo spostamento dei legami paralleli e le relazioni di Migdal Kadanoff. Caso specifico q=2 (e cioe' Ising), D=2, lambda =2, con i calcoli dettagliati. Posizione del punto fisso e stima di nu. La dualita' e un calcolo di decimazione esatta: D=2, q=2, reticoli triangolare e esagonale. beta_c = 1/4 log(3). dualita': (exp(*beta_tilde)-1)*(exp(4*beta)-1)=4. La regola della maggioranza: 2D, reticolo triangolare, lambda = sqrt(3). Calcolo dettagliato della procedura di rinormalizzazione e dell'esponente nu.

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G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998)

Corsi cattedratici ed esercitazioni.

La frequenza assidua e' consigliata.

L'esame consiste in un colloquio sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame la studentessa/lo studente deve essere in grado di presentare argomenti e ripetere i calcoli esposti e spiegati durante il corso. Alla/o studentessa/studente verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso. Nella valutazione si tiene conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria; - attitudine nella risoluzione di problemi (metodo e risultati).

G. Parisi, Statistical Field Theory (Perseus Book, 1998) Drouffe -Itzykson, Statistical Field Theory Leo Kadanoff - Statistical Physics Daniel Amit and Victor Martin Mayor - Field Theory

Corsi cattedratici ed esercitazioni.