METODI NUMERICI PER LE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

Obiettivi formativi

l corso presenterà i risultati fondamentali relativi alla approssimazione delle equazioni alle derivate parziali lineari e di alcuni problemi modello. Il corso prevede attività di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti avranno una conoscenza di base delle tecniche per la risoluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari. Essi inoltre acquisiranno alcune nozioni fondamentali su convergenza, stabilità, stime a priori e complessità degli algoritmi. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame sapranno scrivere semplici programmi per la soluzione di equazioni alle derivate parziali lineari e di analizzarne i risultati. Avranno acquisito una buona conoscenza di un linguaggio di programmazione (C++, MATLAB) e di alcune tecniche di rappresentazione grafica dei risultati. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di analizzare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. Capacità di apprendimento: Gli studenti che avranno superato l'esame avranno familiarità con alcune tecniche di approssimazione delle equazioni alle derivate parziali ed avranno le basi per studiarne di nuove.

Canale 1
ELISABETTA CARLINI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Tecniche di approssimazione numerica di alcuni modelli differenziali alle derivate parziali di interesse nelle applicazioni e i principali metodi di risoluzione numerica corrispondenti. Richiami sui principali risultati della teoria (si suppone che gli studenti abbiano gia' seguito un corso di base sulle EDP) . Richiami sugli schemi standard alle differenze finite per l'approssimazione numerica di problemi lineari ellittici, parabolici e iperbolici in una e due dimensioni. Metodi agli elementi finiti per problemi ellittici e parabolici. Esercitazioni al calcolatore. Problemi iperbolici. Richiami sui problemi del trasporto in una e due dimensioni. Principali schemi alle differenze finite. Analisi di convergenza e studio delle proprietà di dispersione e diffusione. Implementazione al calcolatore dei metodi. Problemi ellittici. Richiami sui problemi al contorno per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine: soluzioni classiche, principio del massimo, formulazione variazionale in spazi di Sobolev. Schemi alle differenze finite per l'equazione di Poisson, principio del massimo discreto e analisi della convergenza. Il metodo di Galerkin per l'approssimazione di un problema variazionale. Definizione di elemento finito di Lagrange. Teoria dell'interpolazione polinomiale negli spazi di Sobolev, teoremi di convergenza e stime dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti, aspetti computazionali e confronto col metodo delle differenze finite. Analisi numerica dei problemi ellittici a trasporto (o reazione) dominante e loro trattamento con tecniche alle differenze finite o agli elementi finiti. Schemi decentrati e diffusione artificiale. Cenno ai metodi di stabilizzazione degli schemi agli elementi finiti per problemi di diffusione-trasporto. Implementazione al calcolatore dei metodi. Problemi parabolici. Richiami sui risultati classici e sulla formulazione variazionale dei problemi parabolici lineari. Schemi alle differenze finite per l'equazione del calore, errore di consistenza e stima di stabilita'. Un metodo di discretizzazione in spazio agli elementi finiti e di avanzamento in tempo (teta-metodo) alle differenze, teoremi di stabilita' e convergenza. Implementazione al calcolatore dei metodi.
Prerequisiti
Il corso richiede gli strumenti di base dell’Analisi Matematica, e la conoscenza dei principali aspetti della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie e delle Equazioni alle Derivate Parziali (caso lineare), introdotti nel modulo parallelo di MAT/05, oltre alla capacità di scrivere semplici programmi in Matlab.
Testi di riferimento
A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer
Frequenza
Facoltativa
Modalità di esame
La valutazione si baserà su un esame scritto ed una prova orale. L'esame scritto mirerà principalmente a verificare le conoscenze più teoriche. Durante la prova orale si verificheranno invece maggiormente le conoscenze pratiche e si valuteranno i programmi, sviluppati in C o Matlab.
Bibliografia
Per ulteriori approfondimenti si vedano anche: A. Quarteroni - A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer. L. Formaggia - F. Saleri - A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali, Springer. J.C. Strickwerda, Finite Difference Schemes and PDE, Wadsworth \& Brooks Cole.
Modalità di erogazione
La valutazione si baserà su un esame scritto ed una prova orale. L'esame scritto mirerà principalmente a verificare le conoscenze più teoriche Durante La prova orale si verificheranno invece maggiormente le conoscenze pratiche e si valuteranno i programmi, sviluppati in C o Matlab.
  • Codice insegnamento1031450
  • Anno accademico2024/2025
  • CorsoMatematica applicata
  • CurriculumModellistica numerica differenziale
  • Anno1º anno
  • Semestre2º semestre
  • SSDMAT/08
  • CFU6
  • Ambito disciplinareFormazione modellistico-applicativa