Programma
1) Leggi di conservazione iperboliche
Teoria.
Derivazione di una legge di conservazione iperbolica, densità, velocità, flusso. Formulazione integrale e formulazione differenziale. Richiami sul metodo delle caratteristiche nel caso lineare, esempi con termini di sorgente e di reazione. Estensione al caso non lineare, tempo di primo shock. Soluzioni quasi ovunque, soluzioni deboli. Equivalenza tra le nozioni di soluzione classica e debole per soluzioni regolari. Condizione di Rankine-Hugoniot. Problema di Riemann, esistenza di infinite soluzioni deboli, curve di shock e onde di rarefazione. Soluzioni entropiche, il metodo della viscosità evanescente, condizioni di entropia, coppie entropia e flusso di entropia. Proprietà della soluzione entropica. Generalizzazioni: caso scalare multi-dimensionale; caso vettoriale uni-dimensionale, sistemi iperbolici e strettamente iperbolici, equazione delle onde; sistemi non lineari uni-dimensionali, le equazioni di Eulero; caso vettoriale multi-dimensionale. Velocità fisica e velocità caratteristica.
Metodi numerici.
Griglia nodale e griglia baricentrica, esempio di schema non convergente ad una soluzione debole. Schemi in forma conservativa, flusso numerico, consistenza e conservazione della massa. Schemi classici (upwind, Lax-Friedrichs, Richtmyer-Lax-Wendroff, Mac Cormack), schema di Godunov, flusso di Godunov esplicito nel casi f(u)=1/2u^2 e f(u)=u(1−u), condizione CFL. Teorema di Lax-Wendroff. Cenni alla nozione discreta di coppie di entropia e flusso di entropia. Cenni agli schemi TVD, schemi che preservano la monotonia e schemi monotoni, principali risultati di convergenza alla soluzione entropica.
Applicazioni.
Traffico veicolare, modelli del primo e secondo ordine.
2) Equazioni di Hamilton-Jacobi
Teoria.
Esempi classici di equazioni di Hamilton-Jacobi (HJ), teorema ponte con le leggi di consevazione iperboliche. Sistema caratteristico per equazioni HJ, non unicità di soluzioni deboli, soluzione di viscosità e sue proprietà. Trasformata di Legendre, formule di rappresentazione, formula di Hopf-Lax. Problemi di controllo ottimo, orizzonte infinito, orizzonte finito, tempo minimo. Funzione valore, principio di programmazione dinamica, equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), controllo ottimo in forma feedback e traiettorie ottime.
Metodi numerici.
Teorema ponte numerico con le leggi di consevazione iperboliche. Schema alle differenze finite e semi-Lagrangiano per l’equazione eikonale evolutiva. Schema alle differenze finite per l’equazione eikonale stazionaria. Schema semi-Lagrangiano per l’equazione eikonale stazionaria con dimostrazione di convergenza.
Applicazioni.
Soluzione numerica dell’equazione HJB tramite schema semi-Lagrangiano. Cenni al problema di evoluzione dei fronti e al metodo level-set. Cenni ad alcuni esempi classici: il lunar landing; il problema di navigazione di Zermelo; la stabilizzazione del pendolo inverso. Cenni ad alcune generalizzazioni: vincoli di stato, vincoli sui controlli, dinamiche ibride, dinamiche stocastiche, giochi differenziali.
Prerequisiti
Il corso di Istituzioni di Analisi Numerica è propedeutico a questo corso.
Testi di riferimento
R. J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser Basel.
L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS.
Appunti delle lezioni in pdf e materiale aggiuntivo sulla pagina e-learning del corso.
Frequenza
La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata viste le modalità di svolgimento
Modalità di esame
Per sostenere l'esame occorre:
1. consegnare i codici relativi agli schemi studiati durante il corso.
2. consegnare l'elaborato di una tesina su un tema applicativo a scelta e il relativo codice.
L'esame consiste quindi nella presentazione della tesina scelta e in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso. La votazione finale terrà conto di tutti gli elementi indicati.
Bibliografia
R. J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser Basel.
L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS.
Modalità di erogazione
Il corso si svolge in laboratorio sia per la parte teorica e sia per la parte di esercitazioni e sviluppo codici.
