Matematica applicata

Il corso affronta concetti e metodi fondamentali della probabilità e statistica in alta dimensione, con particolare attenzione alle disuguaglianze di concentrazione, alle variabili casuali subgaussiane e subesponenziali, e alle loro applicazioni nell’ambito dell’analisi dei dati e dell’apprendimento automatico (machine learning). Gli argomenti trattati includono: Disuguaglianza di Hoeffding e definizione di variabili casuali subgaussiane. Proprietà equivalenti e norma subgaussiana. Disuguaglianza di Hoeffding per somme di variabili subgaussiane indipendenti. Variabili casuali subesponenziali e stima di Chernoff. Lemma di Johnson–Lindenstrauss e proiezioni dimensionali. Epsilon-nets, covering number e packing number; relazioni quantitative in 𝑅 𝑛 R n . Concentrazione della norma operatoriale di matrici con entrate subgaussiane e risultati spettrali (teoremi di Courant–Fischer, Weyl, Davis–Kahn). Stochastic Block Model e problemi di community detection. Algoritmo di spectral clustering e algoritmo k-means. Operatore Laplaciano e algoritmo di unnormalized Laplacian spectral clustering. Legge forte dei grandi numeri, teorema di Glivenko–Cantelli, disuguaglianza Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz (DKW). Dimensione VC, complessità di Rademacher e loro ruolo nell’apprendimento statistico. Durante le lezioni vengono assegnati e discussi esercizi teorici e computazionali, molti dei quali ripresi nelle esercitazioni di laboratorio.

Sono richieste conoscenze di base di probabilità e statistica, in particolare disuguaglianze di concentrazione elementari, variabili casuali discrete e continue, valore atteso e varianza, indipendenza, legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. È utile la familiarità con nozioni di algebra lineare (autovalori, autovettori, norme matriciali) e con strumenti di analisi matematica (successioni, limiti, derivate). È necessario conoscere il linguaggio Matlab, che verrà utilizzato durante le esperienze di laboratorio per l’esecuzione dei task previsti.

R. Vershynin. ``High-Dimensional Probability. An Introduction with Applications in Data Science". Cambridge University Press. Disponibile online (gratuitamente). M. J. Wainwright. ``High-Dimensional Statistics. A Non-Asymptotic Viewpoint". Cambridge University Press.

Corso in presenza. Frequentazione è fortemente consigliata.

Esami: prova orale e/o scritta.

R. Vershynin. ``High-Dimensional Probability. An Introduction with Applications in Data Science". Cambridge University Press. Disponibile online (gratuitamente). M. J. Wainwright. ``High-Dimensional Statistics. A Non-Asymptotic Viewpoint". Cambridge University Press.

Il corso prevede lezioni di teoria (per un totale di 44 ore) svolte alla lavagna o con l’ausilio di tablet, incentrate su esercizi di probabilità, enunciati di teoremi e relative dimostrazioni. Alle lezioni frontali si affiancano 12 ore di laboratorio, durante le quali gli studenti utilizzano Matlab per svolgere esercitazioni pratiche strettamente connesse con gli argomenti teorici trattati a lezione.