Medicina e chirurgia HT (abilitante all'esercizio della professione di Medico Chirurgo)

Introduzione al modulo di geometria differenziale. Metodo di valutazione: discussione. La derivata (o il differenziale in generale) è come un “microscopio” per analizzare le curve e le superfici con gli strumenti dell’algebra lineare. Una volta entrati nel mondo lineare microscopico, i vettori e le nozioni algebriche già collaudate per rette e piani (determinante, prodotto scalare, prodotto vettoriale, rango, dipendenza lineare, ecc.) possono essere così applicati anche a enti non “rettilinei” né “planari”. In questo modulo, dunque, studieremo alcune costanti (auto¬valori, curvatura, torsione, curvatura Gaussiana e curvatura Media, ecc.) che danno informazioni importanti sulla forma e la percezione tattile di curve e superfici. La loro conoscenza segue da nozioni di algebra lineare innestate su calcoli di analisi. Gli autovettori indicheranno spesso direzioni privilegiate in cui la percezione tattile raggiunge un massimo o un minimo di “pressione”. Vediamo intanto gli autovettori in un contesto diverso ma sempre inerente alle curve: essi semplificano un’informazione inizialmente criptata (questo accadeva già con le applicazioni lineari). Rotazione di un’ellisse: la relativa equazione polinomiale perde la forma canonica familiare; come riconoscere un’ellisse a partire da un dato polinomio di secondo grado in due incognite? Non riusciamo a incasellare il polinomio con la nostra tassonomia parziale. Artificio della matrice di ordine 2 relativa ai termini di secondo grado del relativo poli¬nomio. Con questa matrice è possibile ricostruire il polinomio, mediante la moltiplicazione per opportuni vettori contenenti le variabili x, y. Il monomio in xy è il vero termine di disturbo e la sua eliminazione avviene mediante la diagonalizzazione. Teorema spettrale (diagonalizzazione ortogonale) e autovettori ortogonali. Normalizzazione degli autovettori ai fini della rotazione (per evitare modifiche di scala). Matrice del cambiamento di coordinate e matrice trasposta. La presenza di autovet-tori ortogonali e normalizzati consente di interpretare la trasposta proprio come la matrice inversa, rimpiazzando il simbolo (x,y) mediante il nuovo simbolo (X,Y) e attivando il processo di diagonalizzazione al fine di eliminare il disturbo xy. Rappresentazione grafica dell’ellisse in esame, sia nel riferimento ruotato che in quello originale. Trasporto di punti dal nuovo riferimento OXY al vecchio riferi-mento Oxy. Esempio del fuoco di un’ellisse. Trasporto di equazioni mediante la legge inversa che consente di sostituire le lettere X, Y con funzioni delle lettere x, y. Esempio della direttrice. Rotazione di una parabola. Aggiustamento della matrice mediante cambio del verso (per un singolo autovettore) oppure scambiando le colonne. Ellisse, parabola e iperbole corrispondono al determinante positivo, nullo, negativo. Matrice di ordine 3 e metodo del determinante invariante per la forma canonica di una parabola (può essere esteso senza difficoltà al caso di ellisse e iperbole). Coniche: definizioni generali e ruolo intermedio della parabola. Nuovo argomento: curve. Esempio iniziale di un’ellisse e di una retta, entrambe percorse da un punto mobile parametrico. Equazione cartesiana ed equazioni parametriche: queste ultime, poste all'interno dell’equazione cartesiana, la soddisfano. Curve in un riferimento Oxy. Esempio dell’ellisse traslata. Punto mobile espresso mediante le due funzioni delle componenti, x(u) e y(u). Vettore tangente generico, P’(u). Derivate prime delle due componenti e calcolo esplicito del vettore P’(u). Equazione cartesiana della retta tangente a una curva in un dato punto. Nuova parametrizzazione, mediante la variabile s, con cui percorriamo la curva a velocità costante in modulo, unitaria, e vettore tangente speciale, t ; t è quindi un versore e ora la sua variazione infinitesima di direzione ci informa fedelmente sul tragitto più o meno curvilineo “a gomito”. Teorema, con dimostrazione: la derivata di t rispetto alla variabile s è un vettore perpendicolare a t . La derivata del versore tangente t è uguale a kn , dove k (scalare non negativo) è la “curvatura” e n è perpendicolare a t in accordo col teorema visto precedentemente. Formula per il calcolo della curvatura (da dimostrare nella prossima lezione) per qualunque parametrizzazione, non necessariamente quella “rara”, a velocità unitaria (quest’ultima parametrizzazione è la “ascissa curvilinea” e spesso non è disponibile o è di difficile computazione). Mediante questa formula si può quindi trovare un dato fondamentale del moto uniforme (la forma più o meno “chiusa” del tratto di curva), pur disponendo soltanto di un moto non uniforme. Esempi di calcolo della curvatura. Curva a “spirale” . Cardioide (equazione cartesiana e forma parametrica). Il “gradiente” e la sua ortogonalità rispetto al vettore tangente (da dimostrare nella prossima lezione). Esempi di calcolo del vettore gradiente. Dimostrazione della formula per la curvatura. Ingredienti fondamentali: 1) interpretazione della funzione P(u) come composizione P(s(u)) e conseguente utilizzo delle proprietà di derivazione ; 2) proprietà del prodotto vettoriale (immergiamo infatti la curva nello spazio e utilizziamo il prodotto vettoriale come filtro per ottenere l’informazione della curvatura). Durante la dimostrazione abbiamo sottolineato vari dettagli; in particolare, P’’(u) non è diretto come il versore normale n , mentre P’(u) è diretto come il versore tangente t . Abbiamo anche introdotto il versore “binormale” b come prodotto vettoriale di t e n . Questi tre versori costituiscono il cosiddetto “triedro di Frenet” , un apparato che segue la curva in ogni suo punto e registra la curvatura e altre proprietà geometriche della curva (la “torsione”, ad esempio, come vedremo). Siamo così entrati nella geometria dello spazio e presto studieremo esempi di curve nello spazio non contenute nel piano Oxy. Curve nello spazio. L’ascissa curvilinea e altri concetti inerenti alle curve nel piano Oxy si trasportano in questo contesto tridimensionale Oxyz. Vettori t, n, b . Curvatura (ora al numeratore occorre scrivere il modulo del prodotto vettoriale di P’ e P’’). Piano osculatore e “torsione” τ . Formula per il calcolo della torsione (senza dimostrazione). Esempio dell’elica ellittica. Superfici nello spazio Oxyz. Parametrizzazioni con punto dipendente da due parametri: P(u,v). Esempio del cilindro. Vettori tangenti Pu e Pv . Curve contenute in una data superficie e composizione con le rispettive curve nel dominio bidimensionale. Calcolo del vettore tangente di una curva attraverso i vettori Pu e Pv . Piano tangente. Lettere E, F, G. Esempio del toro. Curve contenute nel toro. Questionari OPIS. Approfondimenti sulle curve e le superfici; ulteriore esempio nel toro, con una curva leggermente più complessa. Calcolo di un vettore tangente nei due modi conosciuti (passando attraverso il toro, quindi con l’utilizzo dei vettori tangenti Pu e Pv , oppure considerando direttamente la curva immersa nello spazio, senza una superficie ospite, quindi con la derivata in una sola variabile). Area di una superficie: si tratta di un integrale doppio che coinvolge ancora una volta le lettere E, F, G. La porzione infinitesima di superficie è legata al prodotto vettoriale. Curvatura di una superficie (attenzione, non si tratta quindi della curvatura di una curva, già studiata). Al variare delle direzioni sul piano tangente di una data superficie troviamo curve con curvature diverse e questa variabilità dà, in sintesi, un’idea della forma locale della superficie (“al microscopio”, nel punto in esame). Lettere e, f, g. Curvatura Gaussiana K. Punti ellittici, parabolici, iperbolici. Curvatura Media H. Formula per le due curvature estreme. Caso del cilindro. Calcolo delle curvature estreme di un toro in 5 punti, due ellittici, uno parabolico e due iperbolici. Metodo alternativo: le curvature estreme sono gli autovalori del cosiddetto “operatore forma”, un’applicazione lineare in R2 che rappresenta la reazione della superficie al variare del nostro movimento infinitesimo in una qualunque direzione, sul piano tangente in un punto fissato – argomento da riprendere nella prossima lezione. Movimenti microscopici nel piano tangente e conseguenze varie: caduta nella stessa direzione, reazione opposta della superficie, assenza di reazione. Matrice dell’operatore forma. Sintesi della dimostrazione che porta alla costruzione della matrice. Le colonne di questa matrice sono le coordinate, nella base {Pu , Pv} della variazione (derivata) del vettore normale N lungo le direzioni relative alle variabili u e v rispettivamente. Le curvature estreme sono poi gli autovalori della matrice trovata. In molti casi è preferibile trovare le curvature mediante la matrice anziché utilizzare la curvatura Gaussiana e la Media (risolvendo poi la relativa equazione di secondo grado). Conclusione, essenzialmente, del modulo di geometria differenziale. Riflessioni e breve discussione sulle affinità tra l’attività di ricerca nella matematica e quella in campi diversi, primo fra tutti la medicina. Esempi di ricerca in matematica. I grafi e la loro rappresentazione su una superficie.

Il calcolo letterale. Prodotti notevoli. Decomposizione di polinomi. Teorema di Ruffini. Divisione tra polinomi. Analogie tra i numeri interi e i polinomi. Polinomi irriducibili. Equazioni algebriche. Disequazioni di primo grado. Il piano cartesiano. La retta. Le coniche (cenni). Equazioni delle coniche. La parabola. Le disequazioni di secondo grado. Intersezione tra curve. Sistemi di equazioni. Retta tangente. Vettori e operazioni tra vettori e sui vettori (cenni). Disequazioni algebriche di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni razionali. Equazioni e disequazioni irrazionali. Cenni sulla teoria degli insiemi. Cenni di logica delle proposizioni. Condizioni necessaria, sufficiente, necessaria e sufficiente. Dimostrazione per assurdo. Il modulo di x. Equazioni e disequazioni con i moduli, facendo anche uso di risoluzione grafica. Funzione potenza con alcuni grafici. Regole delle potenze. Funzione esponenziale. Equazioni e disequazioni esponenziali. Il logaritmo e le sue proprietà basilari. Grafico del logaritmo. Equazioni e disequazioni logaritmiche. Cenni sulla funzione inversa. Le funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse. Equazioni e disequazioni trigonometriche.

Appunti del corso.

Le lezioni prevedono la frequenza obbligatoria.