Catalogo dei Corsi di studio

--- Programma dettagliato del corso---
Spazi normati e di Banach, completamenti.  Esempi. Locale compattezza e finito dimensionalita'. Spazi separabili. Operatori limitati. Spazi duali. Duali di L^p. Serie in spazi di Banach: convergenza assoluta e incondizionata. Completezza. Funzionali lineari: estensioni, teorema di Hahn-Banach e applicazioni. Sottoinsiemi convessi ed iperpiani. Teoremi di separazione debole e forte.
Lemma di Baire e teorema dell'uniforme limitatezza. Convergenza uniforme della serie di Fourier.
Teorema dell'applicazione aperta e continuità' dell'inversa. Proprieta' degli isomorfismi e metodo di continuità'. Teorema del grafico chiuso. Spazi quoziente e loro duali. Complementari topologici, operatori invertibili a destra e a sinistra. Operatori compatti, operatori di rango finito e problema dell'approssimazione. Operatori integrali di Volterra e di Fredholm.  Teorema di Schauder. Operatori di Fredholm, indice e sua invariata omotopica. Alternativa di Fredholm. Cenni di teoria spettrale. Spettro di un operatore compatto. Risolvente e calcolo funzionale olomorfo (cenni).
Convergenza debole e debole-* di successioni, esempi e propria'. Compattezza debole per successioni in L^p. Topologia iniziale e topologia debole. Topologia debole ed insieme convessi. Teorema di Mazur. Topologia debole-* e teorema di Banach-Bourbaki-Alaoglu. Metrizzabilita' e separabilita'. Spazi riflessivi e riflessività' di L^p. Caratterizzazioni della riflessività': teoremi di James e di Kakutani. Riflessivita' dei sottospazi, dei prodotti e dei quozienti. Compattezza debole sequenziale e punti di distanza minima su un convesso in spazi riflessivi. Spazi strettamente e uniformemente convessi. Uniforme convessità' di L^p. Teorema di Milman. Proiezione su un convesso in spazi uniformemente convessi. 
Spazi preHilbertiani e di Hilbert. Completamenti e caratterizzazione. Proiezione su un convesso e su un sottospazio. Complementi ortogonali. Spazi duali. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Operatori aggiunti, operatori autoaggiunti,  proiettori ortogonali. Sistemi ortogonali e ortonormali. Basi Hilbertiane. Esempi. Decomposizioni ortogonali, identità' di Parceval e serie di Fourier astratte.
Teorema di isomorfismo di Riesz-Fisher. Approssimazioni di rango finito di operatori compatti. Operatori di classe traccia e di Hilbert-Schmidt.
Operatori unitari e loro proprieta'. Trasformata di Fourier in L^2. Operatori autoaggiunti limitati e compatti.
Teorema spettrale. Esempi: oscillatore armonico quantistico. Cenni sugli operatori non limitati. Operatori aggiunti. Operatori monotoni e massimali monotoni, operatori autoaggiunti. Autoaggiunzione del Laplaciano. Semigruppi uniformemente continui di operatori e teorema di struttura. Semigruppi fortemente continui di contrazioni. Gruppi unitari. Costruzione di (semi)gruppi fortemente continui da operatori massimali monotoni. Applicazioni: equazione del calore e di Schrödinger.

---Bibliography---

1)Note del corso dal docente

2)Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
3)Conway, John B. A course in functional analysis. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 96. Springer-Verlag, New York, 1990.
4)Yosida, Kōsaku Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
5)Pedersen, Gert K. Analysis now. Graduate Texts in Mathematics, 118. Springer-Verlag, New York, 1989.
6)Taylor, Angus Ellis; Lay, David C. Introduction to functional analysis. Second edition. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1980.

---Students evaluation---

There is only an oral exam for the course. It is meant to check the whole student's knowledge of the subject, the theoretical aspects, the proofs and the possible concrete applications. 

---Exams---

First session 21/6/2024

Second session 18/7/2024

Third session 5/9/2024

Fourth session 12/9/2024

Fifth session 16/1/2025

--- Programma dettagliato del corso---
Spazi normati e di Banach, completamenti.  Esempi. Locale compattezza e finito dimensionalita'. Spazi separabili. Operatori limitati. Spazi duali. Duali di L^p. Serie in spazi di Banach: convergenza assoluta e incondizionata. Completezza. Funzionali lineari: estensioni, teorema di Hahn-Banach e applicazioni. Sottoinsiemi convessi ed iperpiani. Teoremi di separazione debole e forte.
Lemma di Baire e teorema dell'uniforme limitatezza. Convergenza uniforme della serie di Fourier.
Teorema dell'applicazione aperta e continuità' dell'inversa. Proprieta' degli isomorfismi e metodo di continuità'. Teorema del grafico chiuso. Spazi quoziente e loro duali. Complementari topologici, operatori invertibili a destra e a sinistra. Operatori compatti, operatori di rango finito e problema dell'approssimazione. Operatori integrali di Volterra e di Fredholm.  Teorema di Schauder. Operatori di Fredholm, indice e sua invariata omotopica. Alternativa di Fredholm. Cenni di teoria spettrale. Spettro di un operatore compatto. Risolvente e calcolo funzionale olomorfo (cenni).
Convergenza debole e debole-* di successioni, esempi e propria'. Compattezza debole per successioni in L^p. Topologia iniziale e topologia debole. Topologia debole ed insieme convessi. Teorema di Mazur. Topologia debole-* e teorema di Banach-Bourbaki-Alaoglu. Metrizzabilita' e separabilita'. Spazi riflessivi e riflessività' di L^p. Caratterizzazioni della riflessività': teoremi di James e di Kakutani. Riflessivita' dei sottospazi, dei prodotti e dei quozienti. Compattezza debole sequenziale e punti di distanza minima su un convesso in spazi riflessivi. Spazi strettamente e uniformemente convessi. Uniforme convessità' di L^p. Teorema di Milman. Proiezione su un convesso in spazi uniformemente convessi. 
Spazi preHilbertiani e di Hilbert. Completamenti e caratterizzazione. Proiezione su un convesso e su un sottospazio. Complementi ortogonali. Spazi duali. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Operatori aggiunti, operatori autoaggiunti,  proiettori ortogonali. Sistemi ortogonali e ortonormali. Basi Hilbertiane. Esempi. Decomposizioni ortogonali, identità' di Parceval e serie di Fourier astratte.
Teorema di isomorfismo di Riesz-Fisher. Approssimazioni di rango finito di operatori compatti. Operatori di classe traccia e di Hilbert-Schmidt.
Operatori unitari e loro proprieta'. Trasformata di Fourier in L^2. Operatori autoaggiunti limitati e compatti.
Teorema spettrale. Esempi: oscillatore armonico quantistico. Cenni sugli operatori non limitati. Operatori aggiunti. Operatori monotoni e massimali monotoni, operatori autoaggiunti. Autoaggiunzione del Laplaciano. Semigruppi uniformemente continui di operatori e teorema di struttura. Semigruppi fortemente continui di contrazioni. Gruppi unitari. Costruzione di (semi)gruppi fortemente continui da operatori massimali monotoni. Applicazioni: equazione del calore e di Schrödinger.

---Bibliography---

1)Note del corso dal docente

2)Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
3)Conway, John B. A course in functional analysis. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 96. Springer-Verlag, New York, 1990.
4)Yosida, Kōsaku Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
5)Pedersen, Gert K. Analysis now. Graduate Texts in Mathematics, 118. Springer-Verlag, New York, 1989.
6)Taylor, Angus Ellis; Lay, David C. Introduction to functional analysis. Second edition. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1980.

---Students evaluation---

There is only an oral exam for the course. It is meant to check the whole student's knowledge of the subject, the theoretical aspects, the proofs and the possible concrete applications. 

---Exams---

First session 21/6/2024

Second session 18/7/2024

Third session 5/9/2024

Fourth session 12/9/2024

Fifth session 16/1/2025