Economia e finanza

Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito. METODO MATEMATICO: postulati e conseguenze dei postulati – teorema e dimostrazione – dimostrazione diretta e dimostrazione per assurdo – principio di Induzione e dimostrazione per induzione [4 ore] ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE: vettori e matrici, operazioni con vettori e matrici – dipendenza e indipendenza lineare tra vettori e rango di un insieme di vettori – determinante di una matrice quadrata, caratteristica o rango di una matrice [8 ore]. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI: Teorema di Rouché-Capelli e Teorema di Cramer – soluzione di sistemi numerici e parametrici – sistemi lineari omogenei [16 ore]. NUMERI: numeri reali e retta reale naturali, interi, razionali, irrazionali – natura e cardinalità degli insiemi –maggioranti, minoranti, massimi e minimi di un insieme – intervalli – distanza e proprietà della distanza – intorno di un punto, insiemi aperti e chiusi, punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione per un insieme [4 ore]. FUNZIONI REALI DI UNA SOLA VARIABILE REALE: funzione e rappresentazione cartesiana di una funzione – funzioni elementari (retta, parabola, cubica, iperbole, esponenziale, logaritmiche) – segno, monotonia e invertibilità delle funzioni – Funzioni potenza, polinomiali, razionali fratte – funzione valore assoluto – funzioni composte [8 ore]. STUDIO DI FUNZIONI: limiti, continuità, derivabilità, massimi e minimi di una funzione, punti di flesso, asintoti – differenziale – polinomio di Taylor e di Mc Laurin [24 ore]. INTEGRALI: definizione e proprietà, integrali definiti e indefiniti, significato geometrico, funzione integrale – calcolo di integrali, integrali immediati, metodi di integrazione [8 ore]. Se l’andamento delle lezioni e il livello generale della classe lo consentiranno, durante il corso verranno anche introdotti argomenti oggetto di futuri approfondimenti in altre materie quali: successioni, serie, funzioni in più variabili (curve di livello, derivate parziali, ottimi). Il programma dettagliato sarà pubblicato al termine delle lezioni.

Algebra elementare – potenze ad esponente reale – radicali – logaritmi – fattorizzazione di polinomi e divisione tra polinomi – equazioni e disequazioni – geometria analitica del piano – cenni di teoria degli insiemi.

M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2015 A. Blasi, Matematica corso base – Teoria ed esercizi, Balzanelli Editore, 2012 A. Guerraggio Matematica, Pearson, 2015 A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica. 700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012 S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.

Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande. La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche.

L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato. La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto due aspetti diversi: 1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti logico-matematici per la risoluzione di problemi; 2) la conoscenza dal punto di vista teorico di tali strumenti e delle loro proprietà. L’esame prevede una prova scritta e una orale.

Y. Antonacci, M.G. Bruno, G. Buonacucina, M. Calzoni (2019), Esercizi svolti di Matematica corso base. Temi d’esame e soluzioni dal 2014 al 2018, (in corso di stampa) G. Giorgi, Appunti di algebra lineare, Giappichelli Editore, Torino, 1991 K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strøm, Metodi matematici per l'analisi economica e finanziaria, Pearson, 2015 D. Ritelli, Lezioni di Analisi Matematica, Esculapio, 2019

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe.

Durante il corso verranno trattati in maniera ampia e approfondita gli argomenti elencati di seguito. METODO MATEMATICO: postulati e conseguenze dei postulati – teorema e dimostrazione – dimostrazione diretta e dimostrazione per assurdo – principio di Induzione e dimostrazione per induzione. ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE: vettori e matrici, operazioni con vettori e matrici – dipendenza e indipendenza lineare tra vettori e rango di un insieme di vettori – determinante di una matrice quadrata, caratteristica o rango di una matrice. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI: Teorema di Rouché-Capelli e Teorema di Cramer – soluzione di sistemi numerici e parametrici – sistemi lineari omogenei. NUMERI: numeri reali e retta reale naturali, interi, razionali, irrazionali – natura e cardinalità degli insiemi intervalli – distanza e proprietà della distanza – intorno di un punto, punto di accumulazione per un insieme. FUNZIONI REALI DI UNA SOLA VARIABILE REALE: funzione e rappresentazione cartesiana di una funzione – funzioni elementari (retta, parabola, cubica, iperbole, esponenziale, logaritmiche) – segno, monotonia e invertibilità delle funzioni – Funzioni potenza, polinomiali, razionali fratte – funzione valore assoluto – funzioni composte. STUDIO DI FUNZIONI: limiti, continuità, derivabilità, massimi e minimi di una funzione, punti di flesso, asintoti – differenziale – polinomio di Taylor e di Mc Laurin. INTEGRALI: definizione e proprietà, integrali definiti e indefiniti, significato geometrico, funzione integrale – calcolo di integrali, integrali immediati, metodi di integrazione. Il programma dettagliato sarà pubblicato al termine delle lezioni.

Matematica delle scuole superiori: algebra elementare – potenze ad esponente reale – radicali – logaritmi – equazioni e disequazioni – geometria analitica del piano – cenni di teoria degli insiemi.

Cesarone F., Corradini M., Lampariello L. Matematica generale Giappichelli 2024 In alternativa: A. Guerraggio Matematica, Pearson, 2020

Per questo insegnamento è altamente consigliata la frequenza delle lezioni ai fini di una comprensione piena degli argomenti teorici del programma. Lo studente che frequenta le lezioni ha la possibilità di vedere gli argomenti illustrati e commentati dal docente in aula e ha la facoltà di intervenire, durante o alla fine della lezione, per porre eventuali domande. La frequenza e la partecipazione attiva alle lezioni e alle esercitazioni potenzia le capacità di ragionamento e apprendimento e permette allo studente di capire come si illustra un argomento formale attraverso un ragionamento basato su implicazioni logiche. Per gli studenti che non possono seguire le lezioni, verrà prodotto materiale integrativo (su teoria e esercizi) disponibile e scaricabile dalle pagine web dedicate all’insegnamento.

L'esame mira ad accertare il possesso delle conoscenze teoriche trasmesse durante il corso e delle capacità di utilizzare tali conoscenze per formalizzare, analizzare e risolvere problemi pratici. È fondamentale nella prova d’esame verificare che lo studente abbia acquisito sia le nozioni teoriche sia le capacità pratiche di analisi e di ragionamento, unitamente alle non meno importanti capacità di presentazione e argomentazione di un risultato. La prova d’esame è finalizzata alla valutazione delle capacità acquisite dallo studente sotto due aspetti diversi: 1) l’aspetto pratico di applicazione degli strumenti logico-matematici per la risoluzione di problemi; 2) la conoscenza dal punto di vista teorico di tali strumenti e delle loro proprietà. L’esame prevede una prova scritta.

Il corso è impartito in maniera tradizionale con lezioni frontali volte principalmente all’illustrazione e spiegazione dei concetti formali della teoria e degli strumenti quantitativi di rappresentazione e risoluzione di problemi. Per le nozioni teoriche i concetti vengono definiti e caratterizzati in maniera rigorosa, spiegando anche cosa significa dimostrare un risultato (teorema, proprietà, caratterizzazione) attraverso l’argomentazione di un ragionamento logico-matematico. Una parte dei risultati presentati a lezione vengono accertati formalmente illustrando la relativa dimostrazione. Ogni concetto teorico introdotto viene illustrato nella sua applicazione pratica attraverso esempi ed esercizi svolti in classe. In parallelo alle lezioni vengono erogate delle esercitazioni.

ALGEBRA LINEARE (dispense: Appunti di Algebra lineare, Autore: Sergio Bianchi) Vettori. Operazioni con i vettori. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Combinazione lineare di vettori. Combinazione lineare convessa di vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi: in particolare Teoremi 59, 60 con dimostrazione. Base di uno spazio vettoriale. Teorema 67 (di rappresentazione unica) con dimostrazione. Teorema 72 (teorema fondamentale degli spazi lineari). Teorema 74 (di Rouche-Capelli). Teorema 76 (di Cramer). Matrici. Operazioni con matrici e proprietà. Prodotto di matrici. Legge di annullamento del prodotto. Determinante di una matrice. Minore complementare e complemento algebrico. Minore di ordine k. Teorema 115 (primo teorema di Laplace). Regola di Sarrus. Proprietà dei determinanti. Rango di una matrice. Proprietà. Teorema 130 (di Kroneker). Matrice inversa. Matrice cofattore. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari. Teorema 132 (di Cramer). Applicazioni del teorema di Rouche-Capelli e di quello di Cramer ai sistemi lineari. Sistemi lineari omogenei. Teorema 140. Sistemi parametrici. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni, definizioni e notazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari. Piano cartesiano. Grafico di una funzione. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo. Intervalli (aperti, chiusi, limitati, illimitati). Intorni di un punto (circolari, bucati, destri e sinistri). Punti di accumulazione. Intorno di infinito. Metodi di dimostrazione: per induzione e per assurdo. Successioni e serie (cenni). Limiti di una funzione. Costruzione della definizione mediante intorni e sua specificazione nei diversi casi limite (punto limite finito o infinito, limite finito o infinito). Limite destro e sinistro. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno (diretto ed inverso). Teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Funzioni continue. Definizione (anche in termini incrementali). Continuità a destra e sinistra. Continuità in un intervallo. Punti singolari: definizione e classificazione. Teoremi sulle funzioni continue. Teorema 6.9.2. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Funzioni uniformemente continue. Teorema di esistenza degli zeri (6.9.6). Teorema dei valori intermedi (6.9.7). Teorema del punto fisso (6.9.9). Funzione composta. Funzione inversa. Infinitesimi ed infiniti. Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Derivata destra e sinistra. Teorema 7.1.1. Regole di derivazione: Teoremi 7.3.1, 7.3.2 e 7.3.3. Derivate delle funzioni elementari. Crescenza e decrescenza puntuale. Punti stazionari. Teoremi della media: Teorema 7.5.1 (di Rolle), Teorema 7.5.2 (di Cauchy), Teorema 7.5.3 (di Lagrange). Crescenza e decrescenza in grande: definizione. Teoremi 7.6.1. Forme indeterminate. Teorema 7.7.1 (de L'Hospital). Differenziale: definizione, significato geometrico ed esempi. Funzione resto. Proprietà. Esempi. Derivata della funzione composta e di quella inversa. Teoremi 7.9.1 e 7.9.2. Derivate di ordine superiore al primo. Concavità e convessità puntuale: definizione ed interpretazione geometrica. Punti di Flesso. Concavità e convessità in grande. Definizione ed interpretazione geometrica. Asintoti. Esempi. Studio di funzione. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor. Calcolo integrale: somme integrali. Proprietà. Teoremi 8.1.1 e 8.1.2. Significato geometrico dell'integrale. Teorema 8.3.1. Teoremi 8.3.2 (del valor medio), 8.3.3, 8.3.4. Integrale definito. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale 8.5.1 (di Torricelli-Barrow). Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva. Integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita. Integrazione per parti e per sostituzione. Regole per il calcolo degli integrali definiti.. NOTA : La numerazione delle proposizioni o dei teoremi fa riferimento per la parte di Algebra Lineare alle relative dispense del Prof. Bianchi e per la seconda parte al testo del Prof. Angrisani.

Programma ministeriale di Matematica per la scuola secondaria di secondo grado. In particolare, si richiede la conoscenza almeno dei seguenti argomenti: - Algebra elementare - Potenze ad esponente reale - Esponenziali e Logaritmi - Equazioni e disequazioni (intere, razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche) - Elementi di geometria analitica del piano - Insiemistica

Teoria: M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, Edizioni CISU, Roma. 2015 S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare, scaricabili in classroom Esercizi: A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica.700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012.

In presenza

Prova scritta con eventuale prova orale se indicato dalla commissione

Le lezioni saranno tenute seguendo la didattica frontale tradizionale che prevederà l´uso di lavagna (classica o lim) ed eventuali proiezioni di slide per agevolare lo studente nell´analisi di eventuali rappresentazioni grafiche

ALGEBRA LINEARE (dispense: Appunti di Algebra lineare, Autore: Sergio Bianchi) Vettori. Operazioni con i vettori. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Combinazione lineare di vettori. Combinazione lineare convessa di vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi: in particolare Teoremi 59, 60 con dimostrazione. Base di uno spazio vettoriale. Teorema 67 (di rappresentazione unica) con dimostrazione. Teorema 72 (teorema fondamentale degli spazi lineari). Teorema 74 (di Rouche-Capelli). Teorema 76 (di Cramer). Matrici. Operazioni con matrici e proprietà. Prodotto di matrici. Legge di annullamento del prodotto. Determinante di una matrice. Minore complementare e complemento algebrico. Minore di ordine k. Teorema 115 (primo teorema di Laplace). Regola di Sarrus. Proprietà dei determinanti. Rango di una matrice. Proprietà. Teorema 130 (di Kroneker). Matrice inversa. Matrice cofattore. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari. Teorema 132 (di Cramer). Applicazioni del teorema di Rouche-Capelli e di quello di Cramer ai sistemi lineari. Sistemi lineari omogenei. Teorema 140. Sistemi parametrici. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Funzioni, definizioni e notazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni monotone. Funzioni pari e dispari. Piano cartesiano. Grafico di una funzione. Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo. Intervalli (aperti, chiusi, limitati, illimitati). Intorni di un punto (circolari, bucati, destri e sinistri). Punti di accumulazione. Intorno di infinito. Metodi di dimostrazione: per induzione e per assurdo. Successioni e serie (cenni). Limiti di una funzione. Costruzione della definizione mediante intorni e sua specificazione nei diversi casi limite (punto limite finito o infinito, limite finito o infinito). Limite destro e sinistro. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno (diretto ed inverso). Teorema del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Funzioni continue. Definizione (anche in termini incrementali). Continuità a destra e sinistra. Continuità in un intervallo. Punti singolari: definizione e classificazione. Teoremi sulle funzioni continue. Teorema 6.9.2. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Funzioni uniformemente continue. Teorema di esistenza degli zeri (6.9.6). Teorema dei valori intermedi (6.9.7). Teorema del punto fisso (6.9.9). Funzione composta. Funzione inversa. Infinitesimi ed infiniti. Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Derivata destra e sinistra. Teorema 7.1.1. Regole di derivazione: Teoremi 7.3.1, 7.3.2 e 7.3.3. Derivate delle funzioni elementari. Crescenza e decrescenza puntuale. Punti stazionari. Teoremi della media: Teorema 7.5.1 (di Rolle), Teorema 7.5.2 (di Cauchy), Teorema 7.5.3 (di Lagrange). Crescenza e decrescenza in grande: definizione. Teoremi 7.6.1. Forme indeterminate. Teorema 7.7.1 (de L'Hospital). Differenziale: definizione, significato geometrico ed esempi. Funzione resto. Proprietà. Esempi. Derivata della funzione composta e di quella inversa. Teoremi 7.9.1 e 7.9.2. Derivate di ordine superiore al primo. Concavità e convessità puntuale: definizione ed interpretazione geometrica. Punti di Flesso. Concavità e convessità in grande. Definizione ed interpretazione geometrica. Asintoti. Esempi. Studio di funzione. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor. Calcolo integrale: somme integrali. Proprietà. Teoremi 8.1.1 e 8.1.2. Significato geometrico dell'integrale. Teorema 8.3.1. Teoremi 8.3.2 (del valor medio), 8.3.3, 8.3.4. Integrale definito. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale 8.5.1 (di Torricelli-Barrow). Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva. Integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita. Integrazione per parti e per sostituzione. Regole per il calcolo degli integrali definiti.. NOTA : La numerazione delle proposizioni o dei teoremi fa riferimento per la parte di Algebra Lineare alle relative dispense del Prof. Bianchi e per la seconda parte al testo del Prof. Angrisani.

Programma ministeriale di Matematica per la scuola secondaria di secondo grado. In particolare, si richiede la conoscenza almeno dei seguenti argomenti: - Algebra elementare - Potenze ad esponente reale - Esponenziali e Logaritmi - Equazioni e disequazioni (intere, razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche) - Elementi di geometria analitica del piano - Insiemistica

Teoria: M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, Edizioni CISU, Roma. 2015 S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare, scaricabili in classroom Esercizi: A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica.700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012.

Frequenza in presenza non obbligatoria

Prova scritta con eventuale prova orale se indicato dalla commissione

Le lezioni saranno tenute seguendo la didattica frontale tradizionale che prevederà l´uso di lavagna (classica o lim) ed eventuali proiezioni di slide per agevolare lo studente nell´analisi di eventuali rappresentazioni grafiche